「CF932E」 Team Work

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题意

有\(n\)个箱子，从中选出\(i\)个箱子，然后把\(k\)个不同的球装在这\(i\)个箱子中，求方案数。

实际上这题就是求:

\[\sum_{i=1}^nc_n^i*i^k
\]

不知道为什么翻译直接把这个写出来了，莫名其妙。

直接求这个式子肯定不行，\(n\)很大会超时，所以我们应该化简式子

\[\sum_{i=1}^nc_n^i*i^k
\]

\[=\sum_{i=0}^nc_n^i*i^k
\]

根据第二类斯特林数的性质：

\[n^k=\sum_{i=0}^nS(k,i)*i!*C(n,i)
\]

所以式子可以继续化简：

\[=\sum_{i=0}^nc_n^i*\sum_{j=0}^kS(k,j)*j!*C(i,j)
\]

\[=\sum_{i=0}^nc_n^i*\sum_{j=0}^kS(k,j)*j!*\frac{i!}{j!*(i-j)!}
\]

\[=\sum_{i=0}^nc_n^i*\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{i!}{(i-j)!}
\]

\[=\sum_{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}*\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{i!}{(i-j)!}
\]

\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{i!}{(i-j)!}*\frac{n!}{i!(n-i)!}
\]

\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(i-j)!*(n-i)!}
\]

\[=\sum_{j=0}^kS(k,j)\sum_{i=0}^n\frac{(n-j)!}{(i-j)!*(n-i)!}*\frac{n!}{(n-j)!}
\]

\[=\sum_{j=0}^kS(k,j)\sum_{i=0}^nC(n-j,n-i)*\frac{n!}{(n-j)!}
\]

\[=\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=0}^nC(n-j,n-i)
\]

\[=\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(n-j)!}*2^{n-j}
\]

所以这就可以直接做了

code

#include<cstdio>
#define rg register
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return f*x;
}
ll s[5011][5011];
int n,k;
inline void init(){
    s[0][0]=1;
    for(rg int i=1;i<=k;i++)
        for(rg int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j])%mod;
}
inline ll ksm(int b){
    ll ans=1,a=2;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
main(){
    n=read(),k=read();
    init();
    ll p=ksm(n),ans=0,js=1,inv=ksm(mod-2);
    for(rg int i=0;i<=k;i++){
        ans+=s[k][i]*p%mod*js,p*=inv,p%=mod;
        ans%=mod;
        js=js*(n-i)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}