BZOJ4753: [Jsoi2016]最佳团体(分数规划+树上背包)

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具体实现

看到分数和最值,考虑分数规划

我们要求的是一个\(\dfrac{\sum P_i}{\sum S_i}\)最大对吧,考虑二分一个答案\(mid\)

那么就会有合法条件\(\dfrac{\sum P_i}{\sum S_i}\ge mid\),化简一下:\(\sum{(P_i-S_i×mid)}\ge 0\)

所以每次二分一个\(mid\)之后得到一个新数组v[i]=P[i]-S[i]×mid,我们跑背包\(check\)它最后是否大于等于\(0\)就可以了,因为有约束条件,所以把树建出来跑树上背包

dp[i][j]表示\(i\)节点选了\(j\)个凑出的\(v\)的最大值,我们最后就只要判断dp[0][K+1]>=0就可以啦

等一下!

这个\(dp\)的转移看上去向\(n^2\)的啊,再乘上\(Dfs\)的\(n\)的复杂度不就复杂度假了吗

其实不然,总体来看,每一对节点的\(dp\)状态只会在他们的\(Lca\)处被转移一次,想一想为什么(我想了挺久),所以复杂度就是\(n^2\)的啦

然而它还是卡常啊,最后\(Junlier\)就卡了很久,终于\(988ms\)卡过去了。。。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define rg register
#define ldb double
#define lst long long
#define rgt register int
#define N 2550
#define pb push_back
#define qw G[now][i]
using namespace std;
const lst Inf=1e18;
const ldb eps=1e-4;
il int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
} int K,n,Dex;
int siz[N];
struct LJL{int S,P,fa;}ljl[N];
ldb v[N],tmp[N],dp[N][N],Ans;
vector<int> G[N]; il void Merge(rgt x,rgt y)
{
for(rgt i=0;i<=K+1;++i)tmp[i]=-Inf;
for(rgt i=1,up;i<=siz[x];++i)
{
up=min(K+1-i,siz[y]);
for(rgt j=1;j<=up;++j)
tmp[i+j]=max(tmp[i+j],dp[y][j]+dp[x][i]);
}for(rgt i=0;i<=K+1;++i)dp[x][i]=max(dp[x][i],tmp[i]);
} void Dfs(rgt now)
{
for(rgt j=0;j<=K+1;++j)dp[now][j]=-Inf;
dp[now][1]=v[now],siz[now]=1;
for(rgt i=0;i<G[now].size();++i)
Dfs(qw),Merge(now,qw),siz[now]+=siz[qw];
} il bool check(ldb lim)
{
for(rgt i=1;i<=n;++i)
v[i]=ljl[i].P-ljl[i].S*lim;
Dfs(0);return dp[0][K+1]>=0;
} int main()
{
K=read(),n=read();
for(rgt i=1;i<=n;++i)
{
ljl[i]=(LJL){read(),read(),read()};
G[ljl[i].fa].pb(i);
}ldb le=eps,ri=1e5,mid;
while(ri-le>eps)
{
mid=(le+ri)/2;
if(check(mid))Ans=mid,le=mid+eps;
else ri=mid-eps;
}return printf("%.3lf\n",Ans),0;
}

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