MinMax 容斥 学习笔记

基本形式

\[
\max(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T)
\]

证明

不提供数学证明。

简要讲一下抽象理解伪证：

考虑从大到小排名为 \(i\) 的数，这个数会作为集合 \(T\) 的最小值出现时，那么 \(T\) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的。那么选取方案就是 \(\binom{i-1}{|T|-1}\)。

如果 \(i=1\)，也就是 \(a_i = \max(S)\)，那么它只会被加上 \(1\) 次。

如果 \(i>1\)，那么它一共会被算 \(\sum\limits_{2\not\mid j, j=1}^{i-1} \binom{i-1}{j-1} - \sum\limits_{2\mid j, j=2}^{i-1}\binom{i-1}{j-1}\)。根据组合数的常识，这个东西在 \(i-1>0\) 的时候答案为 \(0\)。

综上所述，\(\max(S) = \sum\limits_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T)\) 成立。证毕。

扩展1

\[
\min(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\max(T)
\]

显然。

推广

令 \(\max_k(S)\) 表示 \(S\) 中的第 \(k\) 大的值。

则
\[
\max\ _{k}(S) = \sum_{T\subseteq S, |T| \geq k} (-1)^{|T|-k}\binom {|T|-1}{k-1} \min(T)
\]

证明

类似于基本形式。

因为 \(|T|\geq k\)，所以 \(\min(T) \leq \max_k(S)\)。

对于从大到小排列的第 \(i\) 个数，同基本形式，这个数会作为集合 \(T\) 的最小值出现时，那么 \(T\) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的。那么选取方案就是 \(\binom{i-1}{|T|-1}\)。

如果 \(i=k\)，那么它只会被计算 \(1\) 次，即 \(T = \{x\mid x\geq a_i\}\) 时，同时 \(\binom{|T|-1}{k-1} = 1\)。

如果 \(i > k\)，那么如上文所述，它会作为大小为 \(|T|\) 的集合出现的次数为 \(\binom{i-1}{|T|-1}\)。每一次出现会被计算 \(\binom{|T|-1}{k-1}\) 次。所以它作为大小为 \(|T|\) 的集合出现的总贡献为 \(\binom{i-1}{|T|-1}\binom{|T|-1}{k-1} = \binom{i-1}{k-1}\binom{i-k}{|T|-k}\)。所以 \(i\) 的总贡献为 \(\sum\limits_{2\not\mid j, j=k}^{i-1} \binom{i-1}{k-1}\binom{i-k}{j-k} - \sum\limits_{2\mid j, j=2}^{i-1}\binom{i-1}{k-1}\binom{i-k}{j-k} = \binom{i-1}{k-1}(\sum\limits_{2\not\mid j, j=k}^{i-1} \binom{i-k}{j-k} - \sum\limits_{2\mid j, j=2}^{i-1}\binom{i-k}{j-k})\)。同样的，根据组合数的常识，\(\sum\limits_{2\not\mid j, j=k}^{i-1} \binom{i-k}{j-k} - \sum\limits_{2\mid j, j=2}^{i-1}\binom{i-k}{j-k}\) 这个东西只有在 \(i-k=0\) 时才为 \(1\)，否则为 \(0\)。

应用1

常用的应用比如说：有 \(n\) 个变量，每个变量出现的概率为 \(p\)。问每一个变量都出现的期望时间。

不妨设每一个变量出现的时间为 \(t_i\)，那么全部出现的概率可以表示为 \(t\) 的最大值。至少出现一个就是 \(t\) 的最小值。

那么根据 MinMax​ 容斥的一般形式：
\[
\max(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T)
\]
同时，根据期望的线性性质，我们也有：
\[
E(\max(S)) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}E(\min(T))
\]
而 \(E(\min(T))\) 显然很好求解。（显然是 \(\frac 1p\) 对吧

所以这个问题就解决了。

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