PCA算法和实例

PCA算法

算法步骤：

假设有m条n维数据。

1. 将原始数据按列组成n行m列矩阵X

2. 将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值

3. 求出协方差矩阵C=1/mXXT

4. 求出协方差矩阵的特征值以及对应的特征向量

5. 将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

6. Y=PX即为降维到k维后的数据

实例

以这个为例，我们用PCA的方法将这组二维数据降到一维

因为这个矩阵的每行已经是零均值，所以我们可以直接求协方差矩阵：

然后求其特征值和特征向量，求解后的特征值为：

λ1=2,λ2=2/5

其对应的特征向量分别是：

由于对应的特征向量分别是一个通解，c1和c2可取任意实数。那么标准化后的特征向量为：

因此我们的矩阵P是：



可以验证协方差矩阵C的对角化：



最好我们用P的第一行诚意数据矩阵，就得到了降维后的数据表示：



降维后的投影结果如下图：

PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同的正交方向上没有相关性。

因此，PCA也存在一些限制，例如它可以很好地解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了。对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA,通过Kernel将非线性相关转化为线性相关。另外，PCA假设数据各特征分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA的效果就大打折扣。

PCA是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清晰，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以PCA便于通用实现，但是本身没有个性化的优化。

本文主要参考：http://blog.codinglabs.org/articles/pca-tutorial.html