强连通分量 与 2-SAT

近期一直在刷这方面的题 因为没法学新知识 但又想写点什么 就水篇博文吧

引理

简单来说，在一个有向图中，若所有点之间两两互相直接可达，则将这个图成为强连通分量

强连通分量可以是某个有向图中的子图

求强连通分量可以使用 Tarjan，Kosaraju 或者 Garbow 算法

个人感觉 Tarjan算法 最实用，而且后两种算法并不是很熟练，因此在这里只讲 Tarjan算法

Tarjan算法

发明者 Robert E.Tarjan 罗伯特·塔扬，美国计算机科学家

塔老爷子发明过很多算法，而且大多是以他的名字命名的，所以 Tarjan算法 也分很多种，这里只说如何求强连通分量

首先需要知道什么是 DFS序

一个结点 \(x\) 的 DFS序 是指深度优先搜索遍历时改结点被搜索的次序，简记为 \(dfn[x]\)

然后，再维护另一个变量 \(low[x]\)

\(low[x]\) 表示以下节点的 DFS序 的最小值：以 \(x\) 为根的子树中的结点 和 从该子树通过一条不在搜索树上的边能到达的结点

根据 DFS 的遍历原理可以发现

• 一个结点的子树内结点的 DFS序 都大于该结点的 DFS序

• 从根开始的一条路径上的 DFS序 严格递增，low值 严格非降

知道了这些，再来看 Tarjan算法 求强连通分量的具体内容

我们一般只对还没有确定其 DFS序 的节点进行 Tarjan 操作，操作主要包括两个部分

第一部分

以 DFS 的形式，处理出当前点 \(x\) 的 \(dfn[x]\) 和 \(low[x]\)

对当前点打一个标记表示已经遍历过，在之后的 DFS 中根据是否遍历过来进行不同处理，具体方式如下：

设当前枚举点为 \(fr\)，\(fr\) 连出去的点记为 \(to\)

1. \(to\) 未被访问：继续对 \(to\) 进行深度搜索。在回溯过程中，用 \(low[to]\) 更新 \(low[fr]\)。因为存在从 \(fr\) 到 \(to\) 的直接路径，所以 \(to\) 能够回溯到的已经在栈中的结点， \(fr\) 也一定能够回溯到。
2. \(to\) 被访问过，已经在栈中：即已经被访问过，根据 low值 的定义（能够回溯到的最早的已经在栈中的结点），则用 \(dfn[to]\) 更新 \(low[fr]\) 。
3. \(to\) 被访问过，已不在在栈中：说明 \(to\) 已搜索完毕，其所在连通分量已被处理，所以不用对其做操作。

这一部分代码实现如下：

low[fr]=dfn[fr]=++cnt;vis[fr]=1;
for(int i=head[fr];i;i=e[i].nxt){
    int to=e[i].to;
    if(!dfn[to]) tarjan(to),low[fr]=min(low[fr],low[to]);
    else if(vis[to]) low[fr]=min(low[fr],dfn[to]);
}

第二部分

对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 \(dfn[x]=low[x]\)

该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 DFS序 和 low值 最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响

我们可以维护一个栈，存储所有枚举到的点

因此，在回溯的过程中，判定 \(dfn[x]=low[x]\) 的条件是否成立，如果成立，则从栈中取出一个点，处理它所在的强连通分量的编号以及大小，也可以处理其他的一些操作，这样直到把所有点处理完为止

这一部分的代码实现如下：

zhan[++top]=u;
if(dfn[u]==low[u]){
	++siz[++t];
        int pre=zhan[top--];
        vis[pre]=0;num[pre]=t;
	while(pre!=u){
	    ++siz[t];pre=zhan[top--];
	    vis[pre]=0;num[pre]=t;
	}
}

至此，便可以处理出一个点所在的强连通分量，时间复杂度为 \(O(n+m)\)

2-SAT

SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k-适定性问题，简称 k-SAT。而当 \(k>2\) 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 \(k=2\) 的情况。 —— OI Wiki

个人感觉，就是一个实际应用类的知识吧

就是指定 \(n\) 个集合，每个集合包含两个元素，给出若干个限制条件，每个条件规定不同集合中的某两个元素不能同时出现，最后问在这些条件下能否选出 \(n\) 个不在同一集合中的元素

这个问题一般用 Tarjan算法 来求解，也可以使用爆搜，可以参考OI Wiki上的说明，这里就只讲用 Tarjan 实现

但这种问题的实现主要不是难在 Tarjan 怎么写，而是难在图怎么建

假设这里有两个集合 \(A=\{x_1,y_1\}\)，\(B=\{x_2,y_2\}\)，规定 \(x_1\) 与 \(y_2\) 不可同时出现，那我们就建两条有向边 \((x_1,y_1)\)，\((y_2,x_2)\)，表示选了 \(x_1\) 必须选 \(y_1\),，选了 \(y_2\) 必须选 \(x_2\)

这样建完边之后只需要跑一边 Tarjan 判断有无解，若有解就把几个不矛盾的强连通分量拼起来就好了

这里注意，因为跑 Tarjan 用了栈，根据拓扑序的定义和栈的原理，可以得到 跑出来的强连通分量编号是反拓扑序 这一结论

我们就可以利用这一结论，在输出方案时倒序得到拓扑序，然后确定变量取值即可

时间复杂度同上为 \(O(n+m)\)

例题

[APIO2009]抢掠计划

[USACO5.3]校园网Network of Schools

[ZJOI2007]最大半连通子图

[POI2001]和平委员会

写在后面

这种知识加起来已经学过好几遍了，但是写起来还是很累，总是怕自己说不明白

有一说一，我是真不理解有人只放个题目链接然后放个代码是怎么想的，连思路都不提，是给别人写 std 还是只为了告诉别人自己做对了

比我还水