DX12龙书 01 - 向量在几何学和数学中的表示以及运算定义

0x00 向量

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向量 ( vector ) 是一种兼具大小 ( magnitude ) 和方向的量。

0x01 几何表示

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几何方法中用一条有向线段来表示一个向量，其中，线段长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。

改变向量的位置不会改变其大小和方向，所以向量与其位置无关。当我们说两个向量相等，当且仅当它们的长度相等且方向相同。

0x02 数学表示

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数学中使用坐标系来描述向量，通过平移操作将向量的尾部移动到原点，就可以通过坐标来确定该向量。

每当我们根据坐标来确定一个向量时，其对应的坐标总是相对于某一参考系而言的。

标量和向量都可以用坐标 (x, y, z) 来表示。但它们的意义截然不同：点仅表示位置，而向量表示大小与方向。

0x03 向量的基本运算

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设有向量 \(u = (u_x, u_y, y_z)\) 和 \(v = (v_x, v_y, v_z)\)：

1. 两个向量相等，当且仅当它们对应的分量分别相等。
2. 向量加法：\(u + v = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)\)。
3. 标量乘法 ( scalar multiplication )，设 k 是一个标量，则 \(ku = (ku_x, ku_y, ku_z)\)。
4. 向量减法：\(u - v = (u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z)\)。
5. \((0, 0, 0)\) 称为零向量 (zero-vector)，可简记为 0。

0x04 向量的长度和单位向量

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向量的大小（即模）的几何意义是对应有向线段的擦汗高难度，用双竖线表示（如 \(||u||\)）。

代数计算方法：\(\|u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

规范化 (normalizing) ：

将向量的长度变为单位长度，将向量的每个分量分别除以该向量的模：\(\hat{u} = \frac{u}{\|u\|} = (\frac{x}{\|u\|},\frac{y}{\|u\|}\frac{z}{\|u\|})\)。

规范化又称标准化、归一化、正常化、规格化、正态化、单位化……不必拘泥于名词译法。

0x05 点积

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点积 ( dot product ，也称为数量积或内积 ) 是一种计算结果为标量值的向量乘法运算，因此也称标量积 ( scalar product )。设 \(u = (u_x, u_y, y_z)\) 和 \(v = (v_x, v_y, v_z)\)，则点积的定义为：\(u \cdot v = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z\)

点积的几何意义是：\(u \cdot v = \|u\| \|v\| \cos{\theta}\)

点积的一些几何性质：

1. \(u \cdot v = 0\)，那么 \(u \perp v\) （即两个向量正交）。
2. \(u \cdot v \gt 0\)，那么两向量之间的夹角 θ 小于 90°（即两向量间的夹角为一锐角）。
3. \(u \cdot v \lt 0\)，那么两向量之间的夹角 θ 大于 90°（即两向量间的夹角为一钝角）。

正交 （orthogonal）与垂直（perendicular）为同义词。

0x06 正交

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给出向量 v 和单位向量 n，用点积公式求出 p。

因为 n 是单位向量，所以：\(p = (\|v\| \cos{\theta}) n = (v \cdot n)n\)。我们称 p 为向量 v 落在向量 n 上的正交投影（orhogonal projection），通常将它表示为：\(p = proj_n(v)\)。

如果 n 不具有单位长度，就先对它进行规划法处理，使之成为单位向量。可以得到更一般的投影公式：\(p = proj_n(v) = (v \cdot \frac{n}{\|n\|}) \frac{n}{\|n\|} = \frac{(v \cdot n)}{\|n\|^2}n\)。

如果向量集合中每个向量都是相互正交且皆具单位长度，我们就称此集合是规范正交（orhonormal）的。

有一种常见的工作，将非规范正交集正交化。

1.2D 正交化处理

假设有一个向量集合 \(\{v_0, v_1\}\)，现在要将它正交化为 \(\{w_0, w_1\}\)。首先设 \(w_0=v_0\)，通过使 \(v_1\) 减去它在 \(w_0\) 上的分量来令它正交于 \(w_0\)：\(w_1 = v_1 - proj_{w_0}(v_1)\)。

此时我们就得到一个元素相互正交的向量集合 \(\{w_0, w_1\}\)；最后将其中的元素规范化为单位向量即可。

2.3D 正交化处理

与 2D 的处理方式类似，只不过要多一些步骤。

3.格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）

对于具有 n 个向量的一般集合 \(\{ v_0, ..., v_{n-1}\}\) 来说，基本步骤：

设 \(w_0 = v_0\)，对于 \(1 \le i \le n - 1\)，令 \(w_i=v_i - \sum_{j=0}^{i-1}proj_{w_j}(v_i)\)。

规范化步骤：令 \(w_i=\frac{w_i}{\|w_i\|}\)

将给定集合内的向量 \(v_i\) 添加到规范正交集中时，需要令 \(v_i\) 减去它在现有规范正交集中的其他向量方向上的分量，这样可以确保新加入规范正交集的向量与该集合中的其他向量相互正交。

0x07 叉积

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假设 3D 向量 u 与 v 的叉积为 w，则 w 与向量 u、v 彼此正交。

\(w = u \times v = (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)\)

通过叉积来进行正交化

流程如下：

1. 令 \(w_0 = \frac{v_0}{\|v_0\|}\)。
2. 令 \(w_2 = \frac{w_0 \times v_1}{\|w_0 \times v_1\|}\)。
3. 令 \(w_1 = w_2 \times w_0\)。

此时，向量集 \(\{ w_0, w_1, w_2 \}\) 是规范正交的。