【bzoj1019】汉诺塔

【bzoj1019】汉诺塔

题意

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分析

思路1：待定系数+解方程

设\(f[n]\)为\(n\)个盘子的答案。

看似这么简单的设数方式！

我们大胆地猜想，它存在线性的递推式！

不难想到先模拟出前几项，然而用待定系数+解方程解出递推式（然而我最初并没有想到...），然后直接递推就OK了。

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思路2：递推

设\(f[x][i]\)表示第\(x\)根柱子上有\(i\)个盘子的最少转移次数，以及转移到的柱子为\(g[x][i]\)

奠基：

\(f[x][1]\)根据优先级来求

\(g[x][1]=1\)

转移：当前已知\(f[?][i-1]\)和\(g[?][i-1]\)的答案，考虑求解\(f[x][i]\)和\(g[x][i]\)

设\(y=g[x][i-1],k=(1+2+3)-(x+y)\)，即没有用的哪根柱子。第一步必然是将\(x\)的\(i-1\)个移到\(y\)，接下来需要分类讨论。

①当\(g[y][i-1]=k\)时，我们选择这样的策略：

• 将\(x\)的\(i-1\)个移到\(y\)
• 将\(x\)的最后一个移到\(k\)
• 将\(y\)的\(i-1\)个移到\(k\)

得到：

\(f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]\)

\(g[x][i]=k\)

②当\(g[y][i-1]=x\)时，我们选择这样的策略：

• 将\(x\)的\(i-1\)个移到\(y\)
• 将\(x\)的最后一个移到\(k\)
• 将\(y\)的\(i-1\)个移到\(x\)
• 将\(k\)的唯一一个移到\(y\)
• 将\(x\)的\(i-1\)个移到\(y\)

得到：

\(f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1]\)

\(g[x][i]=y\)

为什么这样是正确的？

其实并不知道......

但好像汉诺塔一类的问题都是这样贪心就可以了。

小结

（1）汉诺塔一类的问题

知结论。

会递推。

会递归。

（2）一类待定系数法解决的问题

对于求\(f(n)\)这类的问题，我们可以大胆地猜想：它是线性的。

然后求解前几项，再解出来，然后就很容易了，最多结合个什么矩阵乘法之类的。

有时候不是线性的也可以解决啊。

例如\(f[i]=af[i-1]^2+bf[i-1]+c\)，依然可以使用待定系数求解。

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