解题：SDOI 2017 数字表格

题面

反演题，推式子么=。=

$\prod\limits_{d=1}^{min(n,m)}\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]fib[d]$

把$fib[d]$前提，前面的连乘就跑到指数上去了

$\prod\limits_{d=1}^{min(n,m)}fib[d]^{\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]}$

开始反演那坨指数，等等这玩意不是做过么=。=

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$

$\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[gcd(i,j)==1]$

$\sum\limits_{i=1}^{min(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor)}μ(i)\left\lfloor\frac{n}{id}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{id}\right\rfloor$

于是把$id$捉出来，在原来的整个式子里枚举$id$(不是那个$id$，都懂)

$\prod\limits_{k=1}^{min(n,m)}(\prod\limits_{d|k}fib[d]^{μ(\frac{k}{d})})^{\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor}$

停，可以做了

对于$\prod\limits_{d|k}fib[d]^{μ(\frac{k}{d})}$，预处理，大力把每个数乘到倍数上去，复杂度$O(n\log n)$

对于$\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor$这个指数，可以数论分块，这样再加个快速幂每次回答复杂度就是$O(\sqrt n\log mod)$了，可能有点卡常？我倒是一次过了

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=,M=,mod=1e9+;
 int fib[N],ifb[N],pfb[N],ipf[N];
 int pri[N],npr[N],mul[N];
 int T,n,m,x,y,mn,cnt,ans;
 int qpow(int x,int k)
 {
     if(k==) return x;
     int tmp=qpow(x,k/);
     return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
 }
 void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(!b) {x=,y=; return ;}
     exGCD(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
 }
 int Inv(int b)
 {
     exGCD(b,mod,x,y);
     return (x+mod)%mod;
 }
 void prework()
 {
     register int i,j;
     npr[]=true,mul[]=,fib[]=,ifb[]=,pfb[]=;
     for(i=;i<=M;i++)
     {
         fib[i]=(fib[i-]+fib[i-])%mod;
         ifb[i]=Inv(fib[i]),pfb[i]=;
         if(!npr[i])
             pri[++cnt]=i,mul[i]=-;
         for(j=;j<=cnt&&i*pri[j]<=M;j++)
         {
             npr[i*pri[j]]=true;
             if(i%pri[j]==) break;
             else mul[i*pri[j]]=-mul[i];
         }
     }
     for(i=;i<=M;i++)
         for(j=i;j<=M;j+=i)
             if(mul[j/i]) pfb[j]=1ll*pfb[j]*((~mul[j/i])?fib[i]:ifb[i])%mod;
     pfb[]=ipf[]=;
     for(i=;i<=M;i++)
     {
         ipf[i]=Inv(pfb[i]);
         pfb[i]=1ll*pfb[i-]*pfb[i]%mod;
         ipf[i]=1ll*ipf[i-]*ipf[i]%mod;
     }
 }
 int main()
 {
     register int i,j;
     scanf("%d",&T),prework();
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         mn=min(n,m),ans=;
         for(i=;i<=mn;i=j+)
         {
             j=min(n/(n/i),m/(m/i));
             ans=1ll*ans*qpow(1ll*pfb[j]*ipf[i-]%mod,1ll*(n/i)*(m/i)%(mod-))%mod;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }