普林斯顿大学算法课 Algorithm Part I Week 3 快速排序 Quicksort

发明者：Sir Charles Antony Richard Hoare

基本思想：

• 先对数据进行洗牌（Shuffle the array）

• 以数据a[j]为中心进行分区（Partition），使得a[j]左侧的数据都小于等于a[j]，a[j]右侧的数据都大于等于a[j]

• 分区完后递归排序

分区演示（partitioning demo）

重复操作指导i和j指针相遇

• 当a[i] < a[lo]时，令i从左往右扫描
• 当a[j] > a[lo]时，令j从右往左扫描
• 交换a[i]和a[j]

当指针相遇时

• 交换a[lo]和a[j]

Java实现

public class Quick
{
    private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi)
    {
        int i = lo, j = hi + 1;
        while (true)
        {
            while (less(a[++i], a[lo]))
                if (i == hi) break;           // 从左向右找到不小于a[lo]的元素

            while (less(a[lo], a[--j]))
                if (j == lo) break;           // 从右向左找到不大于a[lo]的元素

            if (i >= j) break;                // 指针相遇
            exch(a, i , j);                   // 交换

        }

        exch(a, lo, j);                       // 和比较元素交换
        return j;                             // 返回比较元素所在的下标
    }

    public static void sort(Comparable[] a)
    {
        StdRandom.shuffle(a);                 // 先对数组进行洗牌，复杂度是N
        sort(a, 0, a.length - 1);
    }

    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)
    {
        if (hi <= lo) return;
        int j = partition(a, lo, hi);
        sort(a, lo, j-1);
        sort(a, j+1, hi);
    }
}

实现细节（implementation details）

• 原地分区（Partitioning in-place）：不用开辟额外的辅助数组
• 终止循环：检查两个指针是否相遇
• 边界：(j == lo)的检查是多余的，但(i == hi)的检查是必要的
• 保留随机性（Preserving randomness）：需要洗牌（Shuffling）来保证运动（Performance guarantee）
• 相同的值（Equal keys）：当存在重复的元素，最好将指针停在和比较元素相同的位置上（When duplicates are present, it is (counter-intuitively) better to stop on keys equal to the partitioning item's key.）

复杂度平均情况分析（average-case analysis）：平均复杂度为 1.39NlgN，比归并排序还快

运行特征（Performance characteristic）

• 最坏情况（Worst case）：1/2*N^2
  • 几乎不会出现
• 平均情况（Average case）：比较次数约等于1.39NlgN
  • 比归并排序多出39%的比较次数
  • 但是由于更少的数据交换，实际中比归并排序更快
• 随机洗牌（Random shuffle）：　　
  • 对最坏情况的概率性保证（Probabilistic guarantee）
  • 经过实验验证的数学模型的基础（Basic for math model that can be validated with experiments.）
• 留心：出现以下情况时，运算是平方级的（quadratic）
  • 当数组逆序排列
  • 当存在多个重复元素　　　

特性（Properties）：

• 快速排序是一种原地排序算法（in-place sorting algorithm）
• 不具有稳定性

实践上的改善（practical improvements）

改善1：使用插入排序对小的子序列进行排序

• 即使是快速排序，也对小数组有不少的开销
• 当数组大小达到10时，停止（Cutoff）插入排序
• 大概有20%的改善

private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)
{
    if (hi <= lo + CUFOFF -1)
    {
        Insertion.sort(a, lo, hi);
        return;
    }
    int j = partition(a, lo, hi);
    sort(a, lo, j-1);
    sort(a, j+1, hi);
}

改善2：使用平均数作为比较元素

• 最好的选择是比较元素刚好是中值
• 通过取样估计中值（Estimate true median by taking median of sample.）
• 对三个取样元素取平均值
• 大概有10%的改善

private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)
{
    if (hi <= lo) return;

    int m = medianOF3(a, lo, lo + (hi - lo)/2, hi);
    swap(a, lo, m);

    int j = partition(a, lo, hi);
    sort(a, lo, j-1);
    sort(a, j+1, hi);
}