洛谷U32670 小凯的数字(比赛)

题目网址

https://www.luogu.org/problemnew/show/U32670

题目背景

NOIP2018 原创模拟题T1

NOIP DAY1 T1 or DAY 2 T1 难度

是否发现与NOIP2017 DAY1 T1 有异曲同工之妙

题目描述

小凯有一天突发奇想，写下了一串数字：l(l+1)(l+2)...(r-1)rl(l+1)(l+2)...(r−1)r

例如：l=2,r=5时，数字为：23452345

l=8,r=12时数字为：8910111289101112

小凯很喜欢数字9，所以他想问你他写下的数字除以9的余数是多少

例如：l=2,r=5时，2345 mod 9 = 5

输入输出格式

输入格式：

第一行为数字Q,表示小凯有Q个问题

第2-Q+1行，每行两个数字 l,r 表示数字范围

输出格式：

对于每行的问题输出一行，一个数字，表示小凯问题的回答

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

5

5

输入样例#2：

3

1 999

123 456

13579 24680

输出样例#2：

说明

样例1解释：2345 mod 9 = 5 89101112 mod 9 = 5

30% 数据满足：Q<=10;l,r<=100

50% 数据满足：Q<=100;l,r<=10000

70% 数据满足：Q<=1000;l,r<=10^6

100%数据满足：Q<=10000;l,0<r<=10^12且 l<=r

题解

根据本题的数据范围，不难发现一定是一道数论题。这一题的难度和NOIP提高组day1的第一题水平差不多，所以应该不是很难；

解决本题，首先要知道：

定理1、能被9整除的数各位数字之和能被9整除；

定理2、如果有9*n（n为自然数）个连续的数字（如题意，比如123456789），那么该数一定能被9整除

第一点很好理解，其实第二点也同样如此，根据高斯求和公式，（首项+末项）*项数/2，

有计算经验的同学一定知道，（首项+末项）和项数中一定有一个是2的倍数，所以不存在带余除法，

那么因为项数是9的倍数，所以上述公式（首项+末项）*项数/2，一定是9的倍数，所以定理2成立。

那么，根据这两个定理，本题代码就很好写了。

再整理一遍思路：

1.读入问题数量Q，循环Q次，每次读入l和r；

2.计算出数字个数（即r-l+1的值），并对9取余，即定义一个变量cnt=(r-l+1)%9；

3.从r开始，往前依次枚举cnt次（因为cnt对9取过模，所以最多循环9次）

将枚举出的数字对9取余，加入sum中；

4.输出sum对9取余即可

5.本题还有一个细节：要用long long

代码

 #include <cmath>

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <cstdlib>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define ll long long

 using namespace std;

 int Q;

 ll l,r;

 void work()

 {

     scanf ("%d",&Q);

     while (Q--)

     {

         scanf ("%lld%lld",&l,&r);

         ll cnt=(r-l+)%;

         ll sum=;

         for (ll i=,k=r;i<=cnt;i++,k--)

             sum+=k%;

         printf ("%lld\n",sum%);

     }

     return;

 }

 int main()

 {

     work();

     return ;

 }

出处：https://www.cnblogs.com/yujustin/

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