noip第22课作业

1.   数字分解

【问题描述】

任何一个大于1的自然数n,总可以拆分成若干个小于n的自然数之和，当n等于5时有6种拆分方法：

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+1+3

5=1+2+2

5=1+4

5=2+3

输入：一行包含一个正整数n（1<n<10）。

输出：先将拆分方案输出，然后再输出拆分的方案数。

【输入样例】

5

【输出样例】

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+1+3

5=1+2+2

5=1+4

5=2+3

total=6

#include <iostream>
using namespace std;
int a[] = {},n,total;

//输出函数
void print(int t) {  //拆成t项
    cout << n << "=";
    for(int i = ; i <= t-; i++) {
        cout << a[i] << "+";
    }
    cout << a[t] << endl;
    total++;
}

void find(int m,int t) {
    for(int i = a[t-]; i<=m; i++) {
        if(i < n) {
            a[t] = i;  //保存当前拆分的i
            m-=i;
            if(m ==) {   //拆分结束，输出结果
                print(t);
            } else {
                find(m,t+);
            }
            m+=i;  //回溯：加上拆分的数，以便产生所有可能的拆分
        }
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    find(n,);
    cout << "total=" <<total << endl;
    return ;
}

2.放苹果

【问题描述】

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

输入：第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出：对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

【输入样例】

1

7 3

【输出样例】

8

/*
m个苹果放在n个盘子中，那么定义函数为apple(m,n)：

  1.m=0，没有苹果，那么只有一种放法，即apple(0,n)=1

  2.n=1，只有一个盘中，不论有或者无苹果，那么只有一种放法，apple(m,1)=1

  3.n>m，和m个苹果放在m个盘子中是一样的，即apple(m,n)=apple(m,m)

  4.m>=n，这时分为两种情况，一是所有盘子都有苹果，二是不是所有盘子都有苹果。
  不是所有盘子都有苹果和至少有一个盘子空着是一样的，即=apple(m,n-1)。所
  有盘子都有苹果，也就是至少每个盘子有一个苹果，m个苹果中的n个放在n个盘子中，
  剩下的m-n个苹果，这和m-n个苹果放在n个盘子中是是一样的，即=apple(m-n, n)。
  这时，apple(m,n)=apple(m-n, n)+apple(m,n-1)。
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int apple(int m,int n) { //m个苹果放到n个盘子里
    if(m <  || n <){
        return ;
    }
    //判断只有一个方法放苹果的情况
    if(m== || n==){
        return ;
    }
    //否则判断苹果数是否少于盘子数，如果少，那么肯定有n-m个空盘子
    //所以只要做把m个苹果放到m个盘子里
    else if(m<n) {
        return apple(m,m);
    }
    //m>=n的情况 :
    //所有的盘子都有苹果，即只要把m-n个苹果放到n个盘子里
    //不是所有盘子都有苹果和至少有一个盘子空着是一样的，即=apple(m,n-1)
    else {
        return apple(m-n,n)+apple(m,n-);
    }

}
int main() {
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) {
        int m,n;
        cin>>m>>n;
        cout<<apple(m,n)<<endl;
    }
}

1．全排列

【问题描述】

输入一个数字N（1<N<10），输出所有使用1到N数字组成的N位数(每个数字只能使用一次)。

【样例输入】

3

【样例输出】

123

132

213

231

312

321

#include <iostream>
using namespace std;
int a[],book[],n;

//站在第step个盒子面前
void dfs(int step){
    int i;
    if(step == n+){
        //输出一种全排列
        for(i = ;i<=n;i++){
            cout << a[i];
        }
        cout << endl;
        return;  //返回之前的一步，最近一次调用dfs函数的地方
    }

    //站在第step个盒子面前， 遍历1到n一一去尝试
    for(i = ;i <= n;i++){
        //判断该数字是否还未被使用
        if(book[i] == ){
            a[step] = i;
            book[i] = ;//表示已被使用

            //接下里走到step+1的盒子面前，做同样的操作
            dfs(step+);
            book[i]=;//一定要将刚才尝试的数字收回，才能进行下一次的尝试
        }
    } 

    return;
}
int main(){
    cin >> n;
    dfs();
    return ;
}

2.分为互质组

【问题描述】

给定n个正整数，将他们分组，使得每组中任意两个数互质。至少要分成多少个组？

输入：第一行是一个正整数n，1<=n<=10;第二行是n个不大于10000的正整数。

输出：一个正整数，即最少需要的组数。

【输入样例】

6

14 20 33 117 143 175

【输出样例】

3

#include <iostream>
using namespace std;
int a[],b[],n;
int ans;
//定义gcd函数求两个数的最大公约数
int gcd(int a,int b) {
    if(b==) {
        return a;
    } else {
        return gcd(b,a%b);
    }
}
void dfs(int x,int y) { //x：第几个数  y:已有多少组
    //递归终止条件
    if(x>n) {
        ans = y;
        return;
    }
    bool flag = false;
    //判断当前值是否是属于已有组
    for(int i = ; i <=y; i++) {
        bool pd = true;
        for(int j = ; j < x; j++) {
            //第j个元素属于第i组，并且第x个元素与第j个元素不是互为质数，则a[x]不属于第i组
            if(b[j] == i && gcd(a[x],a[j]) !=  ) {
                pd = false;
                break;
            }
        }
        if(pd == true) { //第x个元素与第i组的所有元素都互为质数
            flag = true;
            //第x个元素属于第i组
            b[x] = i;
            //接着判断下一个元素(第x+1个元素)是否属于已有的y组
            dfs(x+,y);
            //将b[x]重新赋值为0
            b[x]=;
        }
    }
    if(flag == false) {
        //如果当前值不属于已有的任何一组  需要新开一个组别
        //第x个元素属于第y+1组
        b[x] = y+;
        //接着判断下一个元素(第x+1个元素)是否属于已有的y+1组
        dfs(x+,y+);
        b[x] = ;
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    for(int i = ; i <=n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    //初始化b数组，第1个元素属于第1组
    b[] = ;
    dfs(,);
    cout << ans << endl;
    return ;
}