乘法逆元（P3811）(四种方法)

适合单个的，费马小定理，exgcd，都是不错的选择，利用积性函数的方法和欧拉筛的方法适合批量求，但是论时间和空间的话，还是积性函数的方法比较好用，线性的。

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811

方法一（超时）（适合求单个）：费马小定理
当p为素数的时候，a^(p-1)=1(在模p的情况下),所以我们就可以推导出，a*a^(p-2)=1,所以a的逆元就是a^(p-2)。

代码：

 #include<iostream>
 #include<stack>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<stdio.h>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 # define ll long long
 # define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn = 1e5+;
 ll quickpow(ll t1,ll t2,ll t){
 ll ans=t1%t;
 t2--;
 while(t2){
 if(t2&)ans=ans*t1%t;
 t1=t1*t1%t;
 t2>>=;
 }
 return ans%t;
 }
 ll inv(ll t,ll mod){
 return quickpow(t,mod-,mod)%mod;
 }
 int main(){
 ll n,p;
 scanf("%lld %lld",&n,&p);
 for(int i=;i<=n;i++){
 printf("%lld\n",inv(i,p));
 }
 return ;
 }

方法二（超时）（适合求单个）：扩展欧几里得

a*x=1（mod p),我们可以列出等式，a*x+p*y=1,利用扩展欧几里得，直接求出x。

代码：

 #include<iostream>
 #include<stack>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<stdio.h>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 # define ll long long
 # define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn = 1e5+;
 ll x,y;
 void exgcd(ll t1,ll t2,ll mod)
 {
     if(t2==)
     {
         x=;
         y=;
         return ;
     }
     exgcd(t2,t1%t2,mod);
     ll tmp=x%mod;
     x=y%mod;
     y=(tmp-t1/t2*y%mod+mod)%mod;
 }
 ll inv(ll t,ll mod)
 {
     exgcd(t,mod,mod);
     return x%mod;
 }
 int main()
 {
     ll n,p;
     scanf("%lld %lld",&n,&p);
     for(int i=; i<=n; i++)
     {
         printf("%lld\n",inv(i,p));
     }
     return ;
 }

方法三（AC）（可批量求）：积性函数

证明方法如下图所示：

AC代码：

 #include<iostream>
 #include<stack>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<stdio.h>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 # define ll long long
 # define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn = 2e7+;
 ll inv[maxn];
 int main()
 {
     ll n,p;
     scanf("%lld %lld",&n,&p);
     inv[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
     inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+p)%p;
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
     printf("%lld\n",inv[i]);
     }
     return ;
 }

 方法四：

欧拉筛（可批量求）

AC代码：

 #include<iostream>
 #include<stack>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<stdio.h>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 # define ll long long
 # define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn = 2e7+;
 ll inv[maxn],prim[maxn],vis[maxn];
 ll quickpow(ll  t1,ll t2,ll mod)
 {
 if(!t2)return ;
 ll now=quickpow(t1,t2>>,mod);
 now=now*now%mod;
 if(t2&)now=now*t1%mod;
 return now%mod;
 }
 int main()
 {
     ll n,p;
     scanf("%lld %lld",&n,&p);
     vis[]=;
     inv[]=;
     int num=;
     for(ll i=; i<=n; i++)
     {
         if(vis[i]==)
         {
             prim[++num]=i;
             inv[i]=quickpow(i,p-,p);
         }
         for(ll j=; j<=num; j++)
         {
             if(i*prim[j]>n)
                 break;
             ll tmp=i*prim[j];
            vis[tmp]=;
             inv[i*prim[j]%p]=inv[i]*inv[prim[j]]%p;
             if(i%prim[j]==)
                 break;
         }
     }
     for(int i=; i<=n; i++)
     {
         printf("%lld\n",inv[i]);
     }
     return ;
 }