CF510D Fox And Jumping

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题目

见链接。

题解

方法一

知识点：背包dp，STL。

题目意思是让我们判断能否从这些数中选出一些数使得选的数公共gcd为 \(1\)，如果可以输出最小花费。

一眼背包dp，但要map超大背包优化，因为数字很大 \(10^9\) ，显然无法直接在第二维放下。

设 \(dp[i][j]\) 表示考虑到第 \(i\) 个数，所有数的gcd为 \(j\) 的情况。 因为用map优化了，没法填表了，因为每行都的元素都不确定，应该用刷表法，用这一行结果推到下一行。转移方程为：

\[\begin{aligned}
dp[i][x] &= \min(dp[i-1][x],dp[i][x])\\
dp[i][gcd(l[i],x)] &= \min(dp[i-1][x] + c[i],dp[i][gcd(l[i],x)])
\end{aligned}
\]

前者表示不选第 \(i\) 个数的转移，后者表示选了第 \(i\) 个数的转移。

因为不能 memset 初始化正无穷，因此要做到循环中对第一次出现的状态初始化。同时，这也是解决数组太大每次全部初始化很费时间情况下的一种技巧。

注意为了方便，初始化了 \(dp[0][0] = 0\) 。用于每次选一个数自己是第一个数的情况，能正确被标记而不用特判，即 \(gcd(l[i],0) = l[i]\)。因为在我们写的gcd函数里， \(0\) 可以当作特殊的单位元，特殊之处在于其应该出现在函数的后面一个位置，即 \(gcd(a,0)\) ，否则会出错。

时间复杂度 \(O(n*玄学)\) ，qwq最大公约数种类不知道怎么算

空间复杂度 \(O(玄学)\)

方法二

知识点：BFS，优先队列，记忆化搜索。

说白了就是记忆化搜索，用广搜做最短路，求花费最小的路径，因此用优先队列。细节处理比dp少一点，而且差不多。

时间复杂度 \(O(能过而且更快)\)

空间复杂度 \(O(能过)\)

代码

方法一

///满足最优子结构，顺序上没有后效性可以dp
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int l[307], c[307];
unordered_map<int, int> dp[307];

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> l[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> c[i];
    dp[0][0] = 0;///gcd单位元
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        for (auto [x, y] : dp[i - 1]) {///向后传递，不能写找前继承
            if (!dp[i].count(x)) dp[i][x] = 0x3f3f3f3f;
            dp[i][x] = min(dp[i][x], y);
            int d = gcd(l[i], x);
            if (!dp[i].count(d)) dp[i][d] = 0x3f3f3f3f;
            dp[i][d] = min(dp[i][d], y + c[i]);
        }
    }
    if (dp[n].count(1)) cout << dp[n][1] << '\n';
    else cout << -1 << '\n';
    return 0;
}

方法二

///也可以写成优先队列bfs，好处是不用考虑后效性，以花费从小到大为顺序扩展，复杂度玄学
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int l[307], c[307];
unordered_set<int> vis;
struct node {
    int l;
    int c;
    friend bool operator<(const node &a, const node &b) {
        return a.c > b.c;
    }
};

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int bfs() {
    priority_queue<node> pq;
    pq.push({ 0,0 });
    while (!pq.empty()) {
        node cur = pq.top();
        pq.pop();
        if (cur.l == 1) return cur.c;
        if (vis.count(cur.l)) continue;
        vis.insert(cur.l);///经过后再锁
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            int d = gcd(l[i], cur.l);
            if (vis.count(d)) continue;
            pq.push({ d,cur.c + c[i] });
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> l[i];
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> c[i];
    cout << bfs() << '\n';
    return 0;
}