luogu P4548 [CTSC2006]歌唱王国

传送门

这题\(\mathrm{YMD}\)去年就讲了,然而我今年才做(捂脸)

考虑生成函数,设\(f_i\)表示最终串长为\(i\)的概率,其概率生成函数为\(F(x)=\sum f_ix^i\),设\(g_i\)表示做到长度为\(i\)没结束的概率,其概率生成函数为\(G(x)=\sum g_ix^i\),那我们要求的就是\(F'(1)\)

考虑他们之间的关系,首先如果在一个没有结束的串后接一个字符,那么这个串可能结束也可能没结束,可以得到\(F(x)+G(x)=xG(x)+1\),两边对\(x\)求导并代入\(x=1\)得到\(F'(1)=G(1)\)

然后继续考虑如果在一个没有结束的串直接加入给定的串,那么一定会结束,只不过有可能在没加完的时候就结束了,假设加入了\(i\)个字符结束,那么说明原串有一个长度为\(i\)的\(border\),设\(a_i\)表示原串是否有长度为\(i\)的\(border\),那么可以得到\(G(x)(\frac{x}{n})^m=\sum_{i=1}^{m}a_iF(x)(\frac{x}{n})^{m-i}\),化简并代入\(x=1\)得到\(F'(1)=G(1)=\sum_{i=1}^{m}a_in^i\),然后kmp即可

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define LL long long
#define db double

using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=10000;
int rd()
{
    int x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int n,m,a[N],nxt[N],p[N],ans;

int main()
{
	n=rd();
	p[0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;++i) p[i]=1ll*p[i-1]*n%mod;
	int T=rd();
	while(T--)
	{
		m=rd();
		for(int i=1;i<=m;++i) a[i]=rd();
		nxt[1]=nxt[2]=1;
		for(int i=2,j=1;i<=m;++i)
		{
			while(j>1&&a[i]!=a[j]) j=nxt[j];
			nxt[i+1]=a[i]==a[j]?++j:1;
		}
		ans=0;
		int x=m+1;
		while(x>1) ans=(ans+p[x-1])%mod,x=nxt[x];
		if(ans<1000) putchar('0');
		if(ans<100) putchar('0');
		if(ans<10) putchar('0');
		printf("%d\n",ans);
	}
    return 0;
}

实测这题算答案不取模90'(我也不知道为什么)