C# 通过KD树进行距离最近点的查找.

本文首先介绍Kd-Tree的构造方法，然后介绍Kd-Tree的搜索流程及代码实现，最后给出本人利用C#语言实现的二维KD树代码。这也是我自己动手实现的第一个树形的数据结构。理解上难免会有偏差，敬请各位多多斧正。

1. KD树介绍

Kd-Tree（KD树），即K-dimensional tree，是一种高维索引树形数据结构，常用于在大规模的高维数据空间进行最邻近查找和近似最邻近查找。我实现的KD树是二维的Kd - tree。目的是在点集中寻找最近点。参考资料是Kd-Tree的百度百科。并且根据百度百科的逻辑组织了代码。

2. KD树的数学解释

3. KD树的构造方法

这里是用的二维点集进行构造Kd-tree。三维的与此类似。

树中每个节点的数据类型：

    public class KDTreeNode
    {
        /// <summary>
        /// 分裂点
        /// </summary>
        public Point DivisionPoint { get; set; }

        /// <summary>
        /// 分裂类型
        /// </summary>
        public EnumDivisionType DivisionType { get; set; }

        /// <summary>
        /// 左子节点
        /// </summary>
        public KDTreeNode LeftChild { get; set; }

        /// <summary>
        /// 右子节点
        /// </summary>
        public KDTreeNode RightChild { get; set; }
    }

3.1 KD树构造逻辑流程

1. 将所有的点放入集合a中
2. 对集合所有点的X坐标求得方差xv,Y坐标求得方差yv
3. 如果xv > yv,则对集合a根据X坐标进行排序。如果 yv > xv,则对集合a根据y坐标进行排序。
4. 得到排序后a集合的中位数m。则以m为断点，将[0,m-2]索引的点放到a1集合中。将[m,a.count]索引的点放到a2的集合中（m点的索引为m-1）。
5. 构建节点，节点的值为a[m-1],如果操作集合中节点的个数大于1，则左节点对[0，m-2]重复2-5步，右节点为对[m,a.count]重复2-5步；反之，则该节点为叶子节点。

3.2 代码实现

private KDTreeNode CreateTreeNode(List<Point> pointList)
{
    if (pointList.Count > 0)
    {
        // 计算方差
        double xObtainVariance = ObtainVariance(CreateXList(pointList));
        double yObtainVariance = ObtainVariance(CreateYList(pointList));

        // 根据方差确定分裂维度
        EnumDivisionType divisionType = SortListByXOrYVariances(xObtainVariance,        yObtainVariance, ref pointList);

        // 获得中位数
        Point medianPoint = ObtainMedian(pointList);
        int medianIndex = pointList.Count / 2;

        // 构建节点
        KDTreeNode treeNode = new KDTreeNode()
        {
            DivisionPoint = medianPoint,
            DivisionType = divisionType,
            LeftChild = CreateTreeNode(pointList.Take(medianIndex).ToList()),
            RightChild = CreateTreeNode(pointList.Skip(medianIndex + 1).ToList())
        };
        return treeNode;
    }
    else
    {
        return null;
    }
}

4. KD树搜索方法

Kd-Tree的总体搜索流程先根据普通的查找找到一个最近的叶子节点。但是这个叶子节点不一定是最近的点。再进行回溯的操作找到最近点。

4.1 KD树搜索逻辑流程

1. 对于根据点集构建的树t,以及查找点p.将根节点作为节点t进行如下的操作
2. 如果t为叶子节点。则得到最近点n的值为t的分裂点的值，跳到第5步;如果t不是叶子节点,进行第3步
3. 则确定t的分裂方式，如果是按照x轴进行分裂，则用p的x值与节点的分裂点的x值进行比较，反之则进行Y坐标的比较
4. 如果p的比较值小于t的比较值，则将t指定为t的左孩子节点。反之将t指定为t的右孩子节点，执行第2步
5. 定义检索点m，将m设置为n
6. 计算m与p的距离d1,n与m的距离d2。
7. 如果d1 >= d2且有父节点,则将m的父节点作为m的值执行5步，若没有父节点，则得到真正的最近点TN; 如果d1 < d2就表示n点不是最近点，执行第8步
8. 若n有兄弟节点，则 n = n的兄弟节点；若n没有兄弟节点，则 n = n的父节点。删除原来的n节点。将m的值设置为新的n节点；执行第6步。

4.2 代码实现

public Point FindNearest(Point searchPoint)
{
    // 按照查找方式寻找最近点
    Point nearestPoint = DFSSearch(this.rootNode, searchPoint);

    // 进行回溯
    return BacktrcakSearch(searchPoint, nearestPoint);
}

private Point DFSSearch(KDTreeNode node,Point searchPoint,bool pushStack = true)
{
    if(pushStack == true)
    {
        // 利用堆栈记录查询的路径，由于树节点中没有记载父节点的原因
        backtrackStack.Push(node);
    }
    if (node.DivisionType == EnumDivisionType.X)
    {
       return DFSXsearch(node,searchPoint);
    }
    else
    {
       return DFSYsearch(node, searchPoint);
    }
}

private Point BacktrcakSearch(Point searchPoint,Point nearestPoint)
{
    // 如果记录路径的堆栈为空则表示已经回溯到根节点，则查到的最近点就是真正的最近点
    if (backtrackStack.IsEmpty())
    {
        return nearestPoint;
    }
    else
    {
        KDTreeNode trackNode = backtrackStack.Pop();

        // 分别求回溯点与最近点距查找点的距离
        double backtrackDistance = ObtainDistanFromTwoPoint(searchPoint,         trackNode.DivisionPoint);
        double nearestPointDistance = ObtainDistanFromTwoPoint(searchPoint, nearestPoint);

       if (backtrackDistance < nearestPointDistance)
       {
           // 深拷贝节点的目的是为了避免损坏树
           KDTreeNode searchNode = new KDTreeNode()
           {
                DivisionPoint = trackNode.DivisionPoint,
                DivisionType = trackNode.DivisionType,
                LeftChild = trackNode.LeftChild,
                RightChild = trackNode.RightChild
            };
           nearestPoint = DFSBackTrackingSearch(searchNode, searchPoint);
      }
      // 递归到根节点
      return BacktrcakSearch(searchPoint, nearestPoint);
   }
}

5. 源码交流

https://github.com/CreamMilk/C-Kd-Tree