题目

和数书页有点类似,就直接数吧

#include<iostream>
using namespace std;
class q1
{
public:
size_t func(size_t num);
};
size_t q1::func(size_t num)
{
size_t count = 0, tmp;
while(num)
{
tmp = num;
while(tmp)
{
if(tmp%10 == 1)
++count;
tmp = tmp/10;
}
--num;
}
return count;
} int main()
{
q1 an;
size_t num = 0;
while(1)
{
cout<<"please input positive integer: ";
cin>>num;
cout<<num<<" to 0 include "<<an.func(num)<<" number 1 ."<<endl;
}
//num = 0xffffffff;
//cout<<num<<" to 0 include "<<an.func(num)<<" number 1 ."<<endl;
}

可循环输入,运行效果

显然,时间复杂度过高,一定有其他方法

先看 1 位数的情况。
如果 N = 3,那么从 1 到 3 的所有数字:1、2、3,只有个位数字上可能出现 1,而且只出现 1 次,进一步可以发现如果 N 是个位数,如果 N>=1,那么 f(N)都等于 1,如果 N=0,则 f(N为 0。
再看 2 位数的情况。
如果 N=13,那么从 1 到 13 的所有数字:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13,个位和十位的数字上都可能有 1,我们可以将它们分开来考虑,个位出现 1 的次数有两次:1 和 11,十位出现 1 的次数有 4 次:10、11、12 和 13,所以 f(N)=2+4=6。要注意的是 11 这个数字在十位和个位都出现了 1,但是 11 恰好在个位为 1 和十位为 1 中被计算了两次,所以不用特殊处理,是对
的。再考虑 N=23 的情况,它和 N=13 有点不同,十位出现 1 的次数为 10 次,从 10 到 19,个位出现 1 的次数为 1、11 和 21,所以f(N)=3+10=13。通过对两位数进行分析,我们发现,个位数出现 1 的次数不仅和个位数字有关,还和十位数有关:如果 N 的个位数大于等于 1,则个位出现 1 的次数为十位数的数字加 1;如果N 的个位数为 0,则个位出现 1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现 1 的次数不仅和十位数有关,还和个位数有关:如果十位数字等于 1,则十位数上出现 1 的次数为个位数的数字加 1;如果十位数大于 1,则十位数上出现 1 的次数为 10。
 
接着分析 3 位数
如果 N = 123:
个位出现 1 的个数为 13:1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
十位出现 1 的个数为 20:10~19, 110~119
百位出现 1 的个数为 24:100~123
f(23)= 个位出现 1 的个数 + 十位出现 1 的个数 + 百位出现 1 的次数 = 13 + 20 + 24 = 57;
根据上面的一些尝试,下面我们推导出一般情况下,从 N 得到 f(N)的计算方法:
假设 N=abcde,这里 a、b、c、d、e 分别是十进制数 N 的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现 1 的次数,它将会受到三个因素的影响:百位上的数字,百位以下(低位)的数字,百位(更高位)以上的数字。
如果百位上的数字为 0,则可以知道,百位上可能出现 1 的次数由更高位决定,比如 12 013,则可以知道百位出现 1 的情况可能是 100~199,1 100~1 199,2 100~2 199,…,11 100~11 199,一共有 1 200 个。也就是由更高位数字(12)决定,并且等于更高位数字(12)×当前位数(100)。
如果百位上的数字为 1,则可以知道,百位上可能出现 1 的次数不仅受更高位影响,还受低位影响,也就是由更高位和低位共同决定。例如对于 12 113,受更高位影响,百位出现 1 的情况是 100~
199,1 100~1 199,2 100~2 199,…,11 100~11 199,一共 1 200个,和上面第一种情况一样,等于更高位数字(12)×当前位数(100)。但是它还受低位影响,百位出现 1 的情况是 12100~12 113,一共14 个,等于低位数字(13)+1。
如果百位上数字大于 1(即为 2~9),则百位上可能出现 1的次数也仅由更高位决定,比如 12 213,则百位出现 1 的可能性为:100~199,1 100~1 199,2 100~2 199,…,11 100~11 199,12 100~12 199,一共有 1 300 个,并且等于更高位数字+1(12+1)×当前位数(100)。
所以利用这个规律我们可以写出新的更高效的算法
#include<iostream>
using namespace std;
class q1
{
public:
size_t func(size_t num);
size_t func1(size_t num);
size_t equ(size_t befor, size_t num);
};
size_t q1::func(size_t num)
{
size_t count = 0, tmp;
while(num)
{
tmp = num;
while(tmp)
{
if(tmp%10 == 1)
++count;
tmp = tmp/10;
}
--num;
}
return count;
} size_t q1::func1(size_t num)
{
size_t Ncount = 0;
size_t Nlower = 0;
size_t Ncurrent = 0;
size_t Nhigher = 0;
size_t circle = 1;
while(num/circle != 0)
{
Nlower = num - (num/circle)*circle;
Ncurrent = (num/circle)%10;
Nhigher = num/(circle*10); switch(Ncurrent)
{
case 0:
Ncount += Nhigher*circle;//当前位是0
break;
case 1:
Ncount += Nhigher*circle + Nlower;//当前位是1
break;
default:
Ncount += (Nhigher+1)*circle;//当前位置不是0或1
break; }
circle *= 10;
}
return Ncount;
} int main()
{
q1 an;
size_t num;
while(1)
{
cout<<"please input positive integer: ";
cin>>num;
cout<<num<<" to 0 include "<<an.func1(num)<<" number 1 ."<<endl;
}
}

运行一下,发现即使数字很大相当快,编程之美作者牛逼

第二问,作者的答案是

然而,将n = 1 111 111 110输入

虽然很接近,但是最大N确实不在此点,而且经过手动校验,也不在这附近。

使用图像法,只要找出y = func1(N)和y = x两个函数交点即可。 由实践可知交点不止一个,并且有交点非整数。

进行遍历对比,效率很低,发现了存在这么多 N = func(N)

程序跑到这里,已经被操作系统强行终止了,但是我们知道在1~2^32 - 1 这个区间范围内应该还有更大的数字满足N = func1(N),现在遍历已经行不通了,所以建议使用MATLAB将 y=x 和 y = func1(x)这两个曲线绘出来,然后在估算交点区间,在小区间内进行更高效的遍历,这样可以快速找出答案。

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