C. Ray Tracing——披着搜索外衣的扩展欧几里得

【题目大意】

给你一个n*m的矩形，光线从(0,0)出发，沿右上方向以每秒根号2米的速度运动，碰到矩形边界就会反弹（符合物理规律的反弹），询问k个点，这些点都在矩形内部且不在矩形边界上，求光经过这些点的最小时间。如果光不会经过这个点，输出-1.

【数据范围】

0<m,n,k<=100000

【吐槽】

最后1个小时都砸这道题上了，一直是搜索/模拟 的思路，然而正解是扩展欧几里得。（据说模拟也是可以的，然而我不会，sro_姬树流_orz）

【题解】

把矩形对称展开，最后小球在横纵坐标均为maxx=mn/gcd(m,n)处被吸收。

原坐标为(x,y)的小球经过轴对称展开，其坐标为(2kn±x,2sm±y),k,s为整数.要使得在吸收前经过点，则坐标必须在线段(0, 0)到(maxx, mxx)之间。

即要解方程2kn±x=2sm±y，求为正最小的2kn±x。利用扩展欧几里得解方程。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 long long n,m,k,aa,bb,maxx;
 inline long long read()
 {
     long long x=,f=;  char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 {
     if(b==)  {x=; y=; return a;}
     long long r=exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=a/b*x;
     return r;
 }
 long long gao(long long x,long long y)
 {
     long long c=x+y,dx,dy;
     long long r=exgcd(aa,bb,dx,dy);
     if(c%r)  return maxx+;
     long long mo=bb/r;   dx*=c/r;
     if(mo<)  mo=-mo;
     dx=(dx%mo+mo)%mo;
     long long ans=*n*dx-x;
     if(ans<||ans>maxx)  return maxx+;
     return ans;
 }
 long long minn(long long a,long long b)  {return a<b?a:b;}
 long long solve(long long x,long long y)
 {
     long long r=__gcd(n,m);
     maxx=n*m/r;
     long long ans=maxx+;
     ans=minn(ans,gao(x,y));
     ans=minn(ans,gao(x,-y));
     ans=minn(ans,gao(-x,y));
     ans=minn(ans,gao(-x,-y));
     if(ans==maxx+)  return -;
     else return ans;
 }
 int main()
 {
     //freopen("cin.in","r",stdin);
     //freopen("cout.out","w",stdout);
     n=read();  m=read();  k=read();
     aa=*n;  bb=-*m;
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         long long x=read(),y=read();
         printf("%I64d\n",solve(x,y));
     }
     return ;
 }