ABC 203 F - Weed （DP）

ABC203F - Weed

题意转述

S

t

e

v

e

\rm Steve

Steve 和

A

l

e

x

\rm Alex

Alex 正在下界(

N

e

t

h

e

r

l

e

n

d

\rm Netherlend

Netherlend)玩音符盒(

N

o

t

e

b

l

o

c

k

\rm Note~block

Note block)。

S

t

e

v

e

\rm Steve

Steve 和

A

l

e

x

\rm Alex

Alex 按下了按钮，听着各色音符被发光的红石线激活，感到无比欢乐。但是他们发现有的音符盒发不出声音，原因是被垂泪藤占据了上方的空气方块。于是

S

t

e

v

e

\rm Steve

Steve 和

A

l

e

x

\rm Alex

Alex 打算清除这些垂泪藤。他们是这样清除的：

• （为了有效地清除垂泪藤，他们打算到垂泪藤上方，挖掉它们上面的方块，除根）
• S

  t

  e

  v

  e

  \rm Steve

  Steve 先记下了其中至多

  K

  K

  K 条垂泪藤，上去挖掉了它们上面的方块，清除它们。

• A

  l

  e

  x

  \rm Alex

  Alex 重复进行这样的操作，直到所有垂泪藤被清除完： 找到长度最大的一条未除掉的垂泪藤的长度

  H

  H

  H ，告诉

  S

  t

  e

  v

  e

  \rm Steve

  Steve 所有未除掉的长度大于

  H

  2

  \frac{H}{2}

  2H​ 的垂泪藤的位置，然后让他除掉它们。

S

t

e

v

e

\rm Steve

Steve 想让

A

l

e

x

\rm Alex

Alex 进行的操作次数最少，在这个前提下，自己一开始记忆的垂泪藤数(

≤

K

\leq K

≤K)尽可能少。但是一共有

N

(

≤

2

⋅

1

0

5

)

N(\leq2\cdot10^5)

N(≤2⋅105) 条长度

h

i

≤

1

0

9

h_i\leq10^9

hi​≤109 的垂泪藤（有个强大的模组消除了高度限制），于是

S

t

e

v

e

\rm Steve

Steve 想先向你询问，满足他的要求的情况下，

A

l

e

x

\rm Alex

Alex 进行的操作数和自己一开始记忆的垂泪藤数分别是多少。

题解

由于每次操作过后，最长的垂泪藤长度都至少会减半，因此，总操作数一定不会超过

log

⁡

H

m

a

x

+

1

=

31

\log H_{max}+1=31

logHmax​+1=31，那么我们就可以用一个简单的

D

y

n

a

m

i

c

P

r

o

g

r

a

m

m

i

n

g

\rm Dynamic~Programming

Dynamic Programming 来解决这道题：

先把所有的垂泪藤按长度从小到大排序，令

d

p

[

i

]

[

j

]

dp[i][j]

dp[i][j] 表示以第

j

j

j 条垂泪藤为最长开始，进行了

i

i

i 次操作后，清除的最大可能条数(

d

p

[

0

]

[

0

]

=

0

dp[0][0]=0

dp[0][0]=0)。有如下转移：

d

p

[

i

]

[

j

]

=

max

⁡

2

h

k

≤

h

j

d

p

[

i

−

1

]

[

k

]

+

∑

2

h

k

>

h

j

,

k

≤

j

1

dp[i][j]=\max_{2h_k\leq h_j} dp[i-1][k]+\sum_{2h_k>h_j,k\leq j}1

dp[i][j]=2hk​≤hj​max​dp[i−1][k]+2hk​>hj​,k≤j∑​1

这个可以通过预处理以及前缀和优化等方式达到

O

(

1

)

O(1)

O(1) 转移，也当然可以用滚动少掉一维。

如果找到了最小的

i

i

i ，使得

d

p

[

i

]

m

a

x

≥

N

−

K

dp[i]_{max}\geq N-K

dp[i]max​≥N−K，那么就可以输出

i

i

i 和

N

−

d

p

[

i

]

m

a

x

N-dp[i]_{max}

N−dp[i]max​ 了。

开头可以加个

k

=

n

k=n

k=n 的特判。

CODE

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define DB double
#define LL long long
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN];
int dp[2][MAXN];
int main() {
	n = read();k = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
	}
	if(k == n) {printf("0 %d\n",n);return 0;}
	sort(a + 1,a + 1 + n);
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= 32;i ++) {
		int ad = 0,mx = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j ++) {
			while(ad < n && a[ad+1] <= a[j]/2) mx = max(mx,dp[i&1^1][++ ad]);
			dp[i&1][j] = mx + (j-ad);
			ans = max(dp[i&1][j],ans);
		}
		if(ans >= n-k) {printf("%d %d\n",i,n-ans);return 0;}
	}
	return 0;
}