[复变函数]第06堂课 2.1 解析函数的概念与 Cauchy-Riemann 方程 (续)

2. 解析函数及其简单性质

(1) 定义:

a. 若 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内可微, 则称 $f$ 在 $D$ 内解析;

b. 若 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处的某邻域内解析, 则称 $f$ 在 $z_0$ 处解析;

c. 若 $f$ 在闭域 $\bar D$ 的某个邻域内解析, 则称 $f$ 在 $\bar D$ 上解析;

d. 若 $f$ 在 $z_0$ 处不解析 ($\forall\ \rho>0,\ \exists\ z\in U_\rho(z_0),\st f$ 在 $z$ 处不解析), 但在任一邻域内都有 $f$ 的解析点, 则称 $z_0$ 为 $f$ 的奇点. 例如: $f(z)=\cfrac{1}{z}$.

(2) 注记:

a. 以后所指的解析函数容许奇点.

b. 与实函数的区别: 实可微 (点 $\rra$ 区间); 复解析 (区域 $\rra$ 点).

c. 与实函数的联系: 四则运算、链式法则 ($(g\circ f)'=g'\circ f'$).

3. Cauchy-Riemann 方程

(1) 引言: $$\beex \bea &\quad w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy\ &\ra f'(z)=?,\quad \lap z=\lap x+i\lap y. \eea \eeex$$ 解答: $$\beex \bea f'(z)&=\lim_{\lap z\to 0}\frac{f(z+\lap z)-f(z)}{\lap z}\\ &=\lim_{(\lap x,\lap y)\to 0} \frac{ [u(x+\lap x,y+\lap y)-u(x,y)]+i[v(x+\lap x,y+\lap y)-v(x,y)] }{ \lap x+i\lap y }. \eea \eeex$$ 当 $\lap y=0$ 时, $$\beex \bea f'(z)&=\lim_{\lap x\to 0}\frac{[u(x+\lap x,y)-u(x,y)]+i[v(x+\lap x,y)-v(x,y)]}{\lap x}\\ &=u_x+iv_x; \eea \eeex$$ 当 $\lap x=0$ 时, $$\beex \bea f'(z)&=\lim_{\lap y\to 0}\frac{ [u(x,y+\lap y)-u(x,y)]+i[v(x,y+\lap y)-v(x,y)] }{i\lap y}\\ &=\frac{1}{i}(u_y+iv_y)\\ &=v_y-iu_y. \eea \eeex$$ 于是, $$\bex u_x+iv_x=f'(z)=v_y-iu_y\ra u_x=v_y,\ u_y=-v_x. \eex$$

(2) 称 $u_x=v_y,\ u_y=-v_x$ 为 Cauchy-Riemann (C-R) 方程.

(3) 可微的必要条件: $$\bex f=u+iv\mbox{ 在 }z_0\mbox{ 处可微}\ra \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 在 }(x_0,y_0)\mbox{ 处存在}\\ C-R\mbox{ 方程} \ea}. \eex$$

(4) 可微的充要条件: $$\bex f=u+iv\mbox{ 在 }z_0\mbox{ 处可微}\lra \sedd{\ba{ll} u,v\mbox{ 在 }(x_0,y_0)\mbox{ 可微}\\ C-R\mbox{ 方程} \ea}. \eex$$

(5) 可微的充分条件: $$\bex f=u+iv\mbox{ 在 }z_0\mbox{ 处可微}\Leftarrow \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 在 }(x_0,y_0)\mbox{ 存在且连续}\\ C-R\mbox{ 方程} \ea}. \eex$$

(6) 解析的必要条件: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 内解析}\ra \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 内存在}\\ C-R\mbox{ 方程} \ea}. \eex$$

(7) 解析的充要条件: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 内解析}\lra \sedd{\ba{ll} u,v\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 可微}\\ C-R\mbox{ 方程}\ea} \eex$$

(8) 解析的充分条件: $$\bex f\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 内解析}\Leftarrow \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 在区域 }D\mbox{ 内存在且连续}\\ C-R\mbox{ 方程} \ea} \eex$$

(9) 例子:

a. $f(z)=|z|^2$ 解析不?

b. $f(z)=x^2-iy^2$ 解析不?

c. $f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)$ 解析不? 如果解析, 求出 $f'(z)$.

d. 设 $f=u+iv$ 解析, 试证: 曲线 $u(x,y)=c_1, v(x,y)=c_2$ 正交.

作业: P 90 T 5 (3) , T 8 (1) .