P3197 [HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为 \(1…N\) 的 \(N\) 个房间,每个房间关押一个犯人,有 \(M\) 种宗教,每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同,就可能发生越狱,求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式

输入两个整数 \(M,N\)

输出格式

可能越狱的状态数,模 \(100003\) 取余

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

6

说明/提示

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

\(1 \le M \le 10^8\)

\(1 \le N \le 10^{12}\)

【思路】

组合数学 + 快速幂

【题目大意】

n个房间里面都有犯人,他们信仰m种不同的宗教

求有至少一对信仰相同宗教的人挨在一起的情况

【核心思路】

正着求是很难求或者是没有办法求的

所以正难则反

没法直接求出来越狱的情况

那就求出总的情况和不越狱的情况

用总的情况减去不越狱的情况

就是题目要求我们求的越狱的情况

总的情况

每一个房间都有m中可能,一共有n个房间

所以可能性是m^n次方

总的情况就知道了

然后看不会越狱的情况

第一个房间可以有m中选择

第二个房间不能和第一个房间的宗教一样‘

所以只有m-1中可能

第三个也是和第二个一样

所以出现了一个m和n-1个m-1

那么不会越狱的情况就是m*(m-1)^(n-1)

知道了这两个

一做差就可以求出来会越狱的情况了

【小细节】

幂运算很大需要用快速幂

【完整代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int mo = 100003; int p(int a,int b)
{
int ans = 1;
while(b != 0)
{
if(b & 1 == 1)
{
ans *= a;
ans %= mo;
}
b /= 2;
a = ((a % mo) * (a % mo)) % mo;
}
return ans;
} signed main()
{
int n,m;
cin >> m >> n;
cout << ((p(m,n) % mo - (m * p(m - 1,n - 1)))%mo + mo ) % mo;//先做减法,因为减法之后可能出现负数,但是这个负数的绝对值一定会小于m的 ,因为这是两个已经%过m的数,保证小于m所以做的差的绝对值也一定小于m,只需要将这个可能是服饰的数加上mo保证是正数之后再%一遍mo
return 0;
}

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