洛谷P3834题解

若想要深入学习主席树，传送门。

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Description:

给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小的数。

Method:

先对数据进行离散化，然后按照权值建立线段树。

若要寻找 \([1,p]\) 的第 \(k\) 小，则从根节点开始处理。定义\(Son_{left}\) 表示左儿子的集合，\(Son_{right}\) 表示右儿子的集合。若 \(|Son_{left}|\ge k\) 时，说明第\(k\)小的数在左子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k\) 小的数；反之，说明第\(k\)小的数在右子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k-|Son_{left}|\) 小的数。

拓展一下，我们先预处理建树，得到 \(n+1\) 个版本的线段树（包括初始的线段树），编号为 \(0 \sim n\) 。

前文提到过，主席树满足前缀和查询的思想，故我们要求 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值，即可用sum[r]-sum[l-1]。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Maxn 200010
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m;
struct Segtree
{
    int ls,rs,sum;
}tree[Maxn<<5];
int rt[Maxn];
int a[Maxn],ins[Maxn];
int len,tot=0;
inline void Init(){tot=0;}
inline int getid(const int &x)
{
    return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins;
}
inline void pushup(int rt)
{
    tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
}
inline int build(int l,int r)
{
    int rt=++tot;
    if(l==r)
    {
        tree[rt].sum=0;
        return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    tree[rt].ls=build(l,mid);
    tree[rt].rs=build(mid+1,r);
    pushup(rt);
    return rt;
}
int update(int k,int l,int r,int root,int val)
{
    int rt=++tot;
    tree[rt]=tree[root];
    if(l==k&&r==k)
    {
        tree[rt].sum+=val;
        return rt;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
    else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
    pushup(rt);
    return rt;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2,x=tree[tree[v].ls].sum-tree[tree[u].ls].sum;
    if(k<=x) return query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k);
    else return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k-x);
}
signed main()
{
    Init();
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        read(a[i]);
    }
    memcpy(ins,a,sizeof(ins));
    sort(ins+1,ins+n+1);
    len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1;
    rt[0]=build(1,len);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1],1);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,k;
        read(l),read(r),read(k);
        printf("%lld\n",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]);
    }
    return 0;
}

Warning:

• ls[],rs[],sum[]等数组都要乘上 \(2^5\) 。
• 离散化取lower_bound时，是最后减去0开头的地址，而不是1开头的地址。（即是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins，而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1）
• 查询时递归右子树时查找第 \(k-|Son_{left}|\) 小，而不是 \(k\) 小。