【BZOJ3576】江南乐（博弈论）

【BZOJ3576】江南乐（博弈论）

题面

BZOJ

洛谷

题解

无论一堆石头怎么拆分，都并不能改变它是一个\(Multi-SG\)的事实。

既然每一组的\(F\)都是固定的，那么我们预处理所有的可能的堆，而将石子拆分成若干堆，也只需要考虑\(SG\)函数的值就好了。

但是这样子求\(SG\)值的复杂度是\(O(V^2)\)的，其中\(V\)是值域，也就是\(10^5\)。

再分析一下，将\(x\)个式子拆分成的最少的石子个数是\([x/m]\)，最多的情况是\([x/m+1]\)，

因为\([x/m]\)可以数论分块，而对于\(SG\)函数值的影响之和奇偶性相关，所以只需要考虑\([x/m],[x/m+1]\)出现次数的奇偶性一共\(4\)中情况考虑。

\([x/m]\)个数的奇偶性只和\(m\)相关，\([x/m+1]\)个数的奇偶性只和\(x\%m\)相关，而\(x\%m=x-m[x/m]\)。

而\([x/m]\)在数论分块中是定值，不需要额外考虑，那么只需要考虑\(m\)的奇偶性就好啦。

然而预处理的话复杂度比较爆炸，毕竟我们不一定所有的值都会被用到，那么就写一个记忆化搜索。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX 100100
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int SG[MAX],vis[MAX];
int getSG(int x)
{
	if(~SG[x])return SG[x];
	for(int i=2,k;i<=x;i=k+1)
	{
		k=x/(x/i);
		for(int j=i;j<=min(i+1,k);++j)
		{
			int s=0;
			if((x%j)&1)s^=getSG(x/j+1);
			if((j-x%j)&1)s^=getSG(x/j);
			vis[s]=x;
		}
	}
	for(int i=0;;++i)if(vis[i]!=x)return SG[x]=i;
}
int main()
{
	int T=read(),F=read();
	memset(SG,-1,sizeof(SG));
	for(int i=0;i<F;++i)SG[i]=0;
	while(T--)
	{
		int n=read(),s=0;
		while(n--)s^=getSG(read());
		printf("%d ",(bool)s);
	}
	return 0;
}