多项式求逆元详解+模板 【洛谷P4238】多项式求逆

概述

多项式求逆元是一个非常重要的知识点，许多多项式操作都需要用到该算法，包括多项式取模，除法，开跟，求ln，求exp，快速幂。用快速傅里叶变换和倍增法可以在$O(n log n)$的时间复杂度下求出一个$n$次多项式的逆元。

前置技能

快速数论变换（NTT），求一个数$x$在模$p$意义下的乘法逆元。

多项式的逆元

给定一个多项式$A(x)$，其次数为$deg_A$，若存在一个多项式$B(x)$，使其满足$deg_B≤deg_A$，且$A(x)\times B(x) \equiv 1 (mod\ x^n)$，则$B(x)$即为$A(x)$在模$x^n$意义下的的乘法逆元。

求多项式的逆元

我们不妨假设，$n=2^k,k∈N$。

若$n=1$，则$A(x)\times B(x) \equiv a_0\times b_0 \equiv 1 (mod\ x^1)$。其中$a_0$，$b_0$表示多项式$A$和多项式$B$的常数项。

若需要求出$b_0$，直接用费马小定理求出$a_0$的乘法逆元即可。

当$n>1$时：

我们假设在模$x^{\frac{n}{2}}$的意义下$A(x)$的逆元$B'(x)$我们已经求得。

依据定义，则有

$A(x)B'(x)\equiv 1 (mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(1)$

对$(1)$式进行移项得

$A(x)B'(x)-1\equiv 0 (mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(2)$

然后对$(2)$式等号两边平方，得

$A^2(x)B'^2(x)-2A(x)B'(x)+1\equiv 0(mod\ x^{n})$          $(3)$

将常数项移动到等式右侧，得

$A^2(x)B'^2(x)-2A(x)B'(x)\equiv -1(mod\ x^{n})$          $(4)$

将等式两边去相反数，得

$2A(x)B'(x)-A^2(x)B'^2(x)\equiv 1(mod\ x^{n})$          $(5)$

下面考虑回我们需要求的多项式$B(x)$，依据定义，其满足

$A(x)B(x)\equiv 1(mod\ x^{n})          $(6)$

将$(5)-(6)$并移项，得

$A(x)B(x)\equiv 2A(x)B'(x)-A^2(x)B'^2(x)(mod\ x^{n})$          $(7)$

等式两边约去$A(x)$，得

$B(x)\equiv 2B'(x)-A(x)B'^2(x)(mod\ x^{n})$          $(8)$

显然，我们可以用上述式子求出$B(x)$。

这一步的计算我们可以使用$NTT$，时间复杂度为$O(n log n)$。

我们可以通过递归的方法，求解出$B(x)$。

时间复杂度$T(n)=T(\dfrac{n}{2})+O(n log n)=O(n log n)$。

洛谷上有一道题目就叫做多项式求逆元（点这里），可以先做下那一题。

模板如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M (1<<19)
 #define L long long
 #define MOD 998244353
 #define G 3
 using namespace std;

 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }

 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=w*a[k+(h>>)]%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }

 void getinv(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=pow_mod(a[],MOD-); return;}
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,n<<); memset(d,,n<<);
     getinv(a,c,n>>);
     for(int i=;i<n;i++) d[i]=a[i];
     NTT(d,n<<,); NTT(c,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=(*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[n+i]=;
 }
 L a[M]={},b[M]={};
 int main(){
     int n,N; scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);
     for(N=;N<=n;N<<=);
     getinv(a,b,N);
     for(int i=;i<=n;i++) printf("%lld ",b[i]);
 }