#莫比乌斯反演，整除分块，欧拉定理#U137539 虚伪的最小公倍数

题目

\[\large\prod_{i_1=1}^n\prod_{i_2=1}^n\dots\prod_{i_k=1}^n\frac{i_1*i_2*\dots*i_k}{gcd(i_1,i_2,\dots,i_k)}\pmod {998244353}
\]

---

分析

考虑分子分母分别处理，首先看分子，设

\[\large f[k]=\prod_{i_1=1}^n\prod_{i_2=1}^n\dots\prod_{i_k=1}^n i_1*i_2*\dots*i_k
\]

那么\(f[k]=(n!)^{n^{k-1}}f[k-1]^n\)，其中\(f[0]=1\)

设\(f_n[k]\)表示\(f[k]\)中\(n!\)的次数，那么

\(f_n[k]=n^{k-1}+n*f_n[k-1]\)，其中\(f_n[0]=0\)

可以找规律发现\(f_n[k]=kn^{k-1}\)

那么

\[f[k]=(n!)^{kn^{k-1}}
\]

这就是分子

分母就是

\[\large\prod_{i_1=1}^n\prod_{i_2=1}^n\dots\prod_{i_k=1}^n gcd(i_1,i_2,\dots,i_k)
\]

如果硬套性质很难做，考虑枚举约数计算这个约数出现了多少次，那也就是

\[\large \prod_{d=1}^n d^{\sum_{i_1=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i_2=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\dots \sum_{i_k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i_1,i_2,\dots i_k)==d]}
\]

根据莫比乌斯函数的性质化简得到

\[\large \prod_{d=1}^n d^{\sum_{g=1}^\frac{n}{d}\mu(g){\lfloor\frac{n}{dg}\rfloor}^k}
\]

如果直接套用整除分块会TLE，考虑预处理\({\lfloor\frac{n}{dg}\rfloor}^k\)

一定要做到\(O(1)\)查询，这个很简单，直接开个桶完成一次询问后清除标记就可以了

如果用个STL::map的话就会TLE，当然可以套用欧拉定理优化快速幂

---

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <map>
#define rr register
using namespace std;
const int mod=998244353,phi=998244352,Phi=402653184,P=3001;
const int N=300000; typedef long long lll; lll k; int h[N|31];
int mu[N|31],fac[N|31],inv[N|31],prime[N|31],Cnt,v[N|31],ans,T,n;
inline signed ksm(int x,int y,int p){
	rr int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)
		if (y&1) ans=1ll*ans*x%p;
	return ans;
}
signed main(){
	mu[1]=fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for (rr int i=2;i<=N;++i){
		if (!v[i]) prime[++Cnt]=i,mu[i]=-1;
		for (rr int j=1;j<=Cnt&&prime[j]<=N/i;++j){
			v[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for (rr int i=2;i<=N;++i) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod,mu[i]+=mu[i-1];
	for (rr int i=2;i<=N;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
	for (scanf("%d",&T);T;--T){
		scanf("%d%lld",&n,&k),ans=1;
		rr int f=ksm(fac[n],1ll*k%phi*ksm(n,(k-1)%Phi,phi)%phi,mod);
		for (rr int l=1,r,z;l<=n;l=r+1)
			z=n/l,r=n/z,h[z]=ksm(z,k%Phi,phi);
		for (rr int l=1,r,z,now;l<=n;l=r+1){
			z=n/l,r=n/z,now=0;
			for (rr int L=1,R,Z;L<=z;L=R+1)
				Z=z/L,R=z/Z,now=(now+1ll*(mu[R]-mu[L-1]+phi)*h[Z]%phi)%phi;
			ans=1ll*ans*ksm(1ll*fac[r]*inv[l-1]%mod,now,mod)%mod;
		}
		for (rr int l=1,r,z;l<=n;l=r+1)
			z=n/l,r=n/z,h[z]=0;
		printf("%lld\n",1ll*f*ksm(ans,mod-2,mod)%mod);
	}
	return 0;
}