Codeforces 1202D 思维 构造

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题意

• 每组数据给我们一个n，然后要求我们用{1, 3, 7}这三种字符来组成一个长度小于1e5的序列，要求其中为1337的子序列（不要求相邻）的数量恰好为n

思路

• 首先可以考虑最简单的一种构造方式，开头为133，后面接n个7，这样一定是正确的，但是长度会超过限定

• 我们注意到上面那种方法，每增加一个7，1337子序列数量会增加1，增加速度比较慢，所以我们寻找一种新的“逼近n”的增长方法——也就是每增加一个7，1337的数量增加量为一个变量

• 因为7前面是3，我们考虑增加3的数量之后，再逐个增加7的数量

• 我们发现，如果在增加的一个7前方有m个3，则1337子序列增加量为

\[m * (m - 1) / 2
\]

• 这里其实也就正好达到了我们之前提到的目的，让每次增加量为变量，我们可以假设一开始1后面有无数的3，然后我们从这些3中间插入7，每次插入的贡献值显然就是由上面的式子来算出。我们设为 \(f(m)\)

• 那么如何使得我们插入的k个7的贡献值的和为n？，也就是

\[\sum_1^k{f(a_i)} = n
\]

(a_i为每次加入7时前方的3个数)

• 我们可以对n 不断减去小于等于它的最大f(m)(如果为了容易思考，可以使用二分逼近)，同时记录这个m，直到n等于0。这样，我们也就得到了上面的a_i

• 之后将a_i从小到大排列，不断输出补充3达到对应的a_i数量，然后结尾加上7，将所有a_i操作完之后，答案也就构造完毕了。

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

long long n;
int t;
long long aa[100005], co = 0;

long long search(long long x)
{
	long long l = 2, r = x * 2;
	while (l + 5 <= r)
	{
		long long mid = (l + r) >> 1;
		if ((mid - 1) * mid / 2 <= x)
		{
			l = mid;
		}
		else
		{
			r = mid - 1;
		}
	}
	while ((l - 1) * l / 2 <= x)
	{
		++l;
	}
	return l - 1;
}

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		co = 0;
		scanf("%lld", &n);
		printf("1");
		while (n)
		{
			long long x = search(n);
			aa[++co] = x;
			n -= x * (x - 1) / 2;
		}
		int ll = 0;
		for (int i = co; i >= 1; --i)
		{
			while (ll < aa[i])
			{
				printf("3");
				++ll;
			}
			printf("7");
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}