【算法day1】复杂度和简单排序算法（1）

复杂度和简单排序算法

时间复杂度

以一个排序（选择排序）操作举例

假设我有一个数组，我要找出其中的最小值放到0的位置上

那么

第一次我会遍历数组中N个数（在0位置处），找出最小的数交换到0位置【看了（寻址）N次，比较N次，一次交换】

第二次我会看遍历数组中N-1个数（在1位置处），找出最小的数交换到1位置【看了（寻址）N-1次，比较N-1次，一次交换】

第三次我会看遍历数组中N-2个数（在2位置处），找出最小的数交换到2位置【看了（寻址）N-2次，比较N-2次，一次交换】

以此类推，遍历的范围会缩小，数也按从小到大排好

总结一下：

一共看了N+(N-1)+(N-2)+(N-3)+...次（等差数列）

一共比了N+(N-1)+(N-2)+(N-3)+...次（等差数列）

一共换了N次

上述对常数的操作次数加起来可以写成：aN²+bN+C

那么时间复杂度就是在常数操作数量级的表达式（上式）中，最高次项的次数，例如上面这个排序的时间复杂度就是O(N²)

异或

结论：

1、0异或N对于N

2、N异或N对于0

3、满足交换、结合律

4、一批数要异或在一起，那么不论先后顺序，得到的结果是一样的

快速交换a、b的值

int a = 甲；int b = 乙；

那么只需

a = a⊕b;(a = 甲⊕乙,b = 乙)

b = a⊕b;(a = 甲⊕乙,b = 甲⊕乙⊕乙 = 甲)

a = a⊕b;(a = 甲⊕乙⊕甲 = 乙,b = 甲)

便可完成a、b交换(不用额外申请空间，前提是a、b指向两个不同的内存空间)

找奇偶数

问题描述：

在一个数组中

1、只有一个数出现奇数次，其余的出现偶次，把它找出来

2、有两个数出现奇数次，其余的出现偶次，把它找出来并且给出这两个数是什么

要求时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

思路：

1、第一种情况

准备一个数int eor = 0

用eor把数组从头异或到尾

假如数组是[a,b,c,...]

那么

eor = eor⊕a；

eor = eor⊕b；

eor = eor⊕c；

...

最后eor 就是出现次数为奇数的那个数

例如数组为[2,1,3,1,3,1,3,2,1]

用eor去异或，最后结果一定是3

因为上述数组在以后时无需考虑顺序，数组可看成

[1,1,1,1,2,2,3,3,3]

4个1异或完是0；

2个2异或完是0；

3个3异或完是它本身（3）；

结束

2、第二种情况

设这两个出现奇数次的数是a和b，并且我们知道两者不等

准备一个数int eor = 0

用eor把数组从头异或到尾，那么最后eor = a⊕b

先跟所有的偶数次的异或得到0，然后跟奇数次的a异或得a，再跟奇数次的b异或剩个b，最后成了a⊕b

因为a不等于b，所以eor不等于0，所以eor一定在某一位上不等于0（为1）

假设eor是在第8位上不为0，那么a和b的第8位一定是不一样的

再准备一个变量eor2

只有当数组中某个数的第8位是0（或者1），才把这个数同eor2异或，那么最后eor2会等于a或b的其中一个

之后再用eor异或eor2就可以得到另一个数

tips：

怎么着某一位是指定数的数？（比如第8位是1）

这个问题可以归结成：提取出最右侧的1

假设

k：1010111100

k取反：010100011

k取反+1：010100100

k&k取反+1 = 000000100，提取得到最右侧的1

在位运算中，需要把一个数最右侧的1提取出来

只需将这个数和它自身取反后加1的结果做与运算即可

结束