洛咕 【P1891】疯狂LCM & 三倍经验

经验给掉先：

经验*1

经验*2

经验*3

这里给个跑得比较慢的 \(n \sqrt n\) 预处理然后 \(O(1)\) 回答询问的做法

式子

首先我们推柿子：

\[\begin{aligned}ANS&= \sum_{i=1}^n lcm(i,n)\\ &=\sum_{i=1}^n {i* n\over (i,n)} \\&= n\sum_{i=1}^n {i\over (i,n)} \\&=n\sum_{d|n} \sum_{i=1}^{n/d} i [(i,n/d)=1] \\&=n\sum_{d|n} {\Big(\varphi({n\over d})+\epsilon({n\over d}) \Big){n\over d} \over 2} \\&=n\sum_{d|n} {\Big(\varphi(d)+\epsilon(d) \Big){d} \over 2} \end{aligned}
\]

大概就是这样的

解释一下 \(\varphi\) 怎么出来的，我们可以看出第四行的式子如果没有 i 的话后面那玩意儿就是 $\varphi $ ，然后我们考虑互质的对称性，即 当 \(i\perp n\) 时， \((n-i)\perp n\) ， 所以他们一一对应，并且相加为 n ，只有 \(n=1\) 的情况有点特别，那么咱用 单位元凑就好咯，还有除以 2 别忘了，一一对应相加后数量除以 2

处理

咱考虑欧拉筛一遍就能搞出这个 \(\varphi(i)* i\) ，那么重要的就是累加了...

咱考虑枚举每个 i ，然后再枚举一个数 j ，令 \(i* j \le Max_n\) ，然后咱用 \(\big(\varphi(i)+\epsilon(i)\big)i \over 2\) 给 $i* j $ 累加上去就好了

这样的复杂度是多少呢？

咱倒过来考虑，就是对于 1~n 每个数把它的因数全都计算了一遍答案，那么一个数 n 拥有的因数个数是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，咱积分

\[\int_0^n \sqrt x dx= {2\over 3} n^{3\over 2} =O(n\sqrt n)
\]

讲道理感性理解一下就是 n 带根号啦...

Code

//by Judge
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e6+3;
typedef ll arr[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){ ll x=0,f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} char sr[1<<21],z[20];int CCF=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,CCF+1,stdout),CCF=-1;}
inline void print(ll x,char chr='\n'){
	if(CCF>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++CCF]=45,x=-x;
	while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
	while(sr[++CCF]=z[Z],--Z);sr[++CCF]=chr;
} ll n,cnt; arr v,p,phi,ans;
inline void prp(int n){ v[1]=1,phi[1]=1;
	fp(i,2,n){ if(!v[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(Rg int j=1;j<=cnt&&1ll*i*p[j]<=n;++j){ v[i*p[j]]=1;
			if(!(i%p[j])){ phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; break; }
			phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		} phi[i]*=i,phi[i]/=2;
	} fp(i,1,n) fp(j,1,n/i) ans[i*j]+=phi[i];
}
int main(){ int T=read(); prp(1e6);
	while(T--) n=read(),print(ans[n]*n);
	return Ot(),0;
}