Burnside引理与Polya定理

感觉这两个东西好鬼畜= = ，考场上出了肯定不会qwq。不过还是学一下吧用来装逼也是极好的

群的定义

与下文知识无关。。

给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$"，并满足

(1).封闭性：$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$

(2).结合律：$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$

(3).单位元：$\exists e \in G, \forall a \in G, a * e = e * a = a$

(4). 逆元：$\forall a \in G, \exists b \in G, a * b = b * a = e$，记$b = a^{-1}$

则称集合$G$在运算“$*$”之下是一个群，简称$G$是群

置换

$n$个元素， $1, 2, \dots n$之间的一个置换$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots n \\ a_{1} & a_{2} & \ldots a_{n} \end{pmatrix}$表示$1$被$1$到$n$中的某个数$a_1$取代，$1$被$1$到$n$中的某个数$a_2$取代，$\dots$直到$n$被$1$到$n$中的某个数$a_n$取代，且$a_1, a_2, \dots a_n$互不相同

置换群

置换群的标准定义涉及到新定义，在OI中你可以简单的认为

置换群的元素是置换，运算是置换的连接，

例如$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

解释一下：

在第一个置换中，$1$变为$3$，第二个置换中$3$变为$2$，因此$1$先变为$3$再变为$2$

在第一个置换中，$2$变为$1$，第二个置换中$1$变为$4$，因此$2$先变为$1$再变为$4$

在第一个置换中，$3$变为$2$，第二个置换中$2$变为$3$，因此$3$先变为$2$再变为$3$

在第一个置换中，$4$变为$4$，第二个置换中$4$变为$1$，因此$4$先变为$4$再变为$1$

Burnside引理

设$G= \{a_1,a_2, \dots a_g\}$是目标集$[1,n]$上的置换群，$D(a_i)$表示在置换$a_i$作用下不动点的个数。$L$表示本质不同的方案数，则

$$L = \frac{1}{|G|} \sum_{j = 1}^s D(a_j)$$

P♂lya定理

在Burnside引理中，$D(a_i)$，也就是不动点的个数往往不是很好计算。如果采用枚举每个元素的搜索算法，总时间复杂度为$O(nsp)$，其中$n$表示元素个数，$s$表示置换个数，$p$表示格子数

Polya定理对于特定的题目，提供了一种高效的计算方法

首先介绍一下循环的概念

$$\left( a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\right) =\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1}a_{n} \\ a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n}a_{1} \end{pmatrix}$$

称为$n$阶循环。每个置换都可以写成若干不相交的循环的乘积，两个循环$(a_1, a_2, \dots a_n)$和$(b_1b_2 \dots b_n)$互不相交是指$a_i \not =b_j,i, j = 1,2, \dots n$

例如

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\left( 13\right) \left( 25\right) \left( 4\right)$$

解释一下，$1$先变成$3$，$3$再变成$1$，这样无限递归下去$(1,3)$便构成了一个循环

同理，$(2,5)$也会构成一个循环。

$4$只能变成自己，因此自己构成为一个循环

Polya定理：

设$G$是$p$个对象的一个置换群，用$m$种颜色涂染$p$个对象，则不同染色方案为$$L = \frac{1}{|G|} (m^{c(g_1)} + m^{c(g_2)} + \dots + m^{c(g_s)})$$

其中$G = \{g_1, g_2, \dots g_s \}$，$c(g_i)$为置换$g_i$的循环节数$(i = 1, 2, \dots s)$

Polya定理没有枚举元素，因此它的复杂度为$O(sp)$

但是它也有一定的限制条件，比如说某种颜色的不能选

这时候我们就需要利用一个高端操作(例如dp)，来推广Polya定理