BZOJ4012 [HNOI2015]开店（动态点分治）

Description

风见幽香有一个好朋友叫八云紫，她们经常一起看星星看月亮从诗词歌赋谈到

人生哲学。最近她们灵机一动，打算在幻想乡开一家小店来做生意赚点钱。这样的

想法当然非常好啦，但是她们也发现她们面临着一个问题，那就是店开在哪里，面

向什么样的人群。很神奇的是，幻想乡的地图是一个树形结构，幻想乡一共有 n

个地方，编号为 1 到 n，被 n-1 条带权的边连接起来。每个地方都住着一个妖怪，

其中第 i 个地方的妖怪年龄是 x_i。妖怪都是些比较喜欢安静的家伙，所以它们并

不希望和很多妖怪相邻。所以这个树所有顶点的度数都小于或等于 3。妖怪和人一

样，兴趣点随着年龄的变化自然就会变化，比如我们的 18 岁少女幽香和八云紫就

比较喜欢可爱的东西。幽香通过研究发现，基本上妖怪的兴趣只跟年龄有关，所以

幽香打算选择一个地方 u（u为编号），然后在 u开一家面向年龄在 L到R 之间（即

年龄大于等于 L、小于等于 R）的妖怪的店。也有可能 u这个地方离这些妖怪比较

远，于是幽香就想要知道所有年龄在 L 到 R 之间的妖怪，到点 u 的距离的和是多

少（妖怪到 u 的距离是该妖怪所在地方到 u 的路径上的边的权之和），幽香把这个

称为这个开店方案的方便值。幽香她们还没有决定要把店开在哪里，八云紫倒是准

备了很多方案，于是幽香想要知道，对于每个方案，方便值是多少呢。

Input

第一行三个用空格分开的数 n、Q和A，表示树的大小、开店的方案个数和妖

怪的年龄上限。

第二行n个用空格分开的数 x_1、x_2、…、x_n，x_i 表示第i 个地点妖怪的年

龄，满足0<=x_i<A。(年龄是可以为 0的，例如刚出生的妖怪的年龄为 0。)

接下来 n-1 行，每行三个用空格分开的数 a、b、c，表示树上的顶点 a 和 b 之

间有一条权为c(1 <= c <= 1000)的边，a和b 是顶点编号。

接下来Q行，每行三个用空格分开的数 u、 a、 b。对于这 Q行的每一行，用 a、

b、A计算出 L和R，表示询问“在地方 u开店，面向妖怪的年龄区间为[L,R]的方

案的方便值是多少”。对于其中第 1 行，L 和 R 的计算方法为：L=min(a%A,b%A),

R=max(a%A,b%A)。对于第 2到第 Q行，假设前一行得到的方便值为 ans，那么当

前行的 L 和 R 计算方法为： L=min((a+ans)%A,(b+ans)%A),

R=max((a+ans)%A,(b+ans)%A)。

Output

对于每个方案，输出一行表示方便值。

Sample Input

10 10 10
0 0 7 2 1 4 7 7 7 9
1 2 270
2 3 217
1 4 326
2 5 361
4 6 116
3 7 38
1 8 800
6 9 210
7 10 278
8 9 8
2 8 0
9 3 1
8 0 8
4 2 7
9 7 3
4 7 0
2 2 7
3 2 1
2 3 4

Sample Output

1603
957
7161
9466
3232
5223
1879
1669
1282
0

HINT

满足 n<=150000,Q<=200000。对于所有数据，满足 A<=10^9

题解

　　这题正解是动态点分治（不过据说主席树+树链剖分跑得更快？）

　　如果不知道什么是动态点分的可以去看看幻想乡的战略游戏->蒟蒻的题解

　　这一道题，我们考虑对于每一个点分树上的点维护什么。我们记录三个值，$sz_0$表示子树内的点数之和，$sz_1$表示子树内所有点到其的距离之和，$sz_2$表示子树内所有点到其父亲的距离之和。那么考虑我们在跳点分树的时候要如何维护答案呢？很明显$sz_1[u]+\sum sz_1[fa]-sz_2[p]+(sz_0[fa]-sz_0[p])*dist(fa,u)$就是在点分树上与$u$的$LCA$是$fa$的所有点的距离之和，其中$fa$为$p$的父亲，$p$为从$u$不断跳父亲直到根，那么只要不断枚举$fa$，并不断往上跳并维护答案就可以了。

　　然而上面只是为了方便理解，因为具体的计算不是这样的。我们对于$u$点内部的贡献可以直接计算，然后考虑往上跳。在上述的式子中如果一个点$p$有$fa$，那么答案就要减去$sz_0[p]*dist(fa,u)+sz_2[p]$，如果一个点不是$u$那么答案就要加上$sz_0[p]+dist(p,u)$，然后每一个点都要加上自己的$sz_1$。按这个规律在跳点分树的时候不断加就好了

　　然后考虑怎么在$[l,r]$之内，很明显可以搞一个差分，把每一个节点在点分树上的子树内的所有年龄的距离之和加起来，在做前缀和，那么在年龄$[l,r]$的人数就是$[1,r]-[1,l-1]$

 //minamoto

 #include<cstdio>

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<vector>

 #include<algorithm>

 #define ll long long

 #define N 150005

 using namespace std;

 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;

 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,:;}

 inline int read(){

     #define num ch-'0'

     char ch;bool flag=;int res;

     while(!isdigit(ch=getc()))

     (ch=='-')&&(flag=true);

     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);

     (flag)&&(res=-res);

     #undef num

     return res;

 }

 char sr[<<],z[];int C=-,Z;

 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}

 inline void print(ll x){

     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;

     while(z[++Z]=x%+,x/=);

     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';

 }

 int head[N],Next[N<<],ver[N<<],edge[N<<];

 int n,tot,val[N],q,maxn;

 int st[N<<][],d[N],dfn[N],num,bin[],tp,logn[N<<];

 inline void add(int u,int v,int e){

     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;

     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=e;

 }

 inline void ST(){

     for(int j=;j<=tp;++j)

     for(int i=;i+bin[j]-<=(n<<);++i)

     st[i][j]=min(st[i][j-],st[i+bin[j-]][j-]);

 }

 void dfs1(int u,int fa){

     st[dfn[u]=++num][]=d[u];

     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

         int v=ver[i];

         if(v==fa) continue;

         d[v]=d[u]+edge[i],dfs1(v,u),st[++num][]=d[u];

     }

 }

 int fa[N],sz[N],son[N],size,rt;bool vis[N];

 void dfs2(int u,int fa){

     sz[u]=,son[u]=;

     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

         int v=ver[i];

         if(vis[v]||v==fa) continue;

         dfs2(v,u),sz[u]+=sz[v],cmax(son[u],sz[v]);

     }

     cmax(son[u],size-sz[u]);

     if(son[u]<son[rt]) rt=u;

 }

 inline ll dis(int a,int b){

     if(dfn[a]>dfn[b]) a^=b^=a^=b;

     int k=logn[dfn[b]-dfn[a]+];

     return d[a]+d[b]-(min(st[dfn[a]][k],st[dfn[b]-bin[k]+][k])<<);

 }

 struct node{

     int val;ll sz[];

     node(int a=,ll b=,ll c=,ll d=){val=a,sz[]=b,sz[]=c,sz[]=d;}

     inline bool operator <(const node &b)const

     {return val<b.val;}

 };

 vector<node> sta[N];

 void dfs3(int u,int f,int rt){

     sta[rt].push_back(node(val[u],,dis(u,rt),fa[rt]?dis(u,fa[rt]):));

     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

         int v=ver[i];

         if(v==f||vis[v]) continue;

         dfs3(v,u,rt);

     }

 }

 void dfs4(int u){

     vis[u]=true;

     dfs3(u,,u);sta[u].push_back(node(-,,,));

     sort(sta[u].begin(),sta[u].end());

     for(int i=,j=sta[u].size();i<j-;++i)

     sta[u][i+].sz[]+=sta[u][i].sz[],

     sta[u][i+].sz[]+=sta[u][i].sz[],

     sta[u][i+].sz[]+=sta[u][i].sz[];

     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){

         int v=ver[i];

         if(vis[v]) continue;

         rt=,size=sz[v];

         dfs2(v,),fa[rt]=u,dfs4(rt);

     }

 }

 inline node query(int id,int l,int r){

     if(id==) return node();

     vector<node>::iterator it1=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(r,,,));--it1;

     vector<node>::iterator it2=upper_bound(sta[id].begin(),sta[id].end(),node(l-,,,));--it2;

     return node(,it1->sz[]-it2->sz[],it1->sz[]-it2->sz[],it1->sz[]-it2->sz[]);

 }

 inline ll calc(int u,int l,int r){

     ll res=;

     for(int p=u;p;p=fa[p]){

         node a=query(p,l,r);

         res+=a.sz[];

         if(p!=u) res+=a.sz[]*dis(p,u);

         if(fa[p]) res-=a.sz[]+a.sz[]*dis(fa[p],u);

     }

     return res;

 }

 int main(){

     ll ans=;

     n=read(),q=read(),maxn=read();

     bin[]=,logn[]=-;

     for(int i=;i<=;++i) bin[i]=bin[i-]<<;

     while(bin[tp+]<=(n<<)) ++tp;

     for(int i=;i<=(n<<);++i) logn[i]=logn[i>>]+;

     for(int i=;i<=n;++i) val[i]=read();

     for(int i=;i<n;++i){

         int u=read(),v=read(),e=read();

         add(u,v,e);

     }

     dfs1(,),ST();

     rt=,son[]=n+,size=n,dfs2(,);

     dfs4(rt);

     while(q--){

         int a=read(),b=read(),c=read();

         b=(b+ans)%maxn,c=(c+ans)%maxn;

         if(b>c) b^=c^=b^=c;

         print(ans=calc(a,b,c));

     }

     Ot();

     return ;

 }