Prim算法（普里姆算法）

描述：

　　一个连通图的生成树是指一个极小连通子图，它含有图中的全部顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边。我们把构造连通网的最小代价生成树成为最小生成树。而Prim算法就是构造最小生成树的一种算法。

定义：

　　假设N = （P，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U = {U₀}（U_0^属于V）。开始重复执行下述操作：在所有u属于U，v属于V-U的边（u,v）属于E中找到一条代价最小的边（u0，v0）并入集合TE，同事v0并入U，知道U = V为止。此时TE中必有n-1条边，则T = （V，{TE}）为N的最小生成树

功能：

　　假设你是电信的实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计，村庄零星地分布在这个镇中，每个村庄之间都有一定的距离，我们可以用prim算法找到一种连接方式。用这种方式可以保证总的路径最短。

时间复杂度：O（n²）

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXVERTEX 10
#define INF 65535
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
typedef struct MGraph
{
    VertexType data[MAXVERTEX];
    EdgeType edge[MAXVERTEX][MAXVERTEX];
    int numVertex;
    int numEdge;
}MGraph;
//构造一个图
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i = 0,j = 0,k = 0,w = 0;
    VertexType c;
    printf("请输入顶点的数目和边的数目：中间用逗号隔开，回车表示结束:\n");
    scanf("%d,%d",&G->numVertex,&G->numEdge);
    fflush(stdin);
    printf("请输入顶点存储的数据,以回车表示结束:\n");
    scanf("%c",&c);
    while(i < G->numVertex)
    {
        if(c == '\n')
            break;
        G->data[i] = c;
        i++;
        scanf("%c",&c);
    }
    for(i = 0;i < G->numVertex;i++)
    {
        for(j = 0;j < G->numVertex;j++)
        {
            if(i == j)
                G->edge[i][j] = 0;
            else
                G->edge[i][j] = INF;
        }
    }
    fflush(stdin);
    for(k = 0;k < G->numEdge;k++)
    {
        printf("请输入边vi-vj依附顶点的下标 i 和 j ，以及权值w，中间用逗号隔开，回车表示结束:\n");
        scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
        G->edge[i][j] = w;
        G->edge[j][i] = G->edge[i][j];
    }
    printf("\n得到的邻接矩阵为：\n");
    for(i = 0;i < G->numVertex;i++)
    {
        for(j = 0;j < G->numVertex;j++)
        {
            printf("%d ",G->edge[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

void Prim(MGraph *G)
{
    int i = 0,j = 0,k = 0,min,m;
    int adjvex[MAXVERTEX];
    int lowcost[MAXVERTEX];
    for(i = 0;i < G->numVertex;i++)
    {
        adjvex[i] = 0;
    }
    lowcost[0] = 0;
    for(i = 1;i < G->numVertex;i++)
    {
        lowcost[i] = G->edge[0][i];
    }
    for(i = 1;i < G->numVertex;i++)
    {
        j = 1,k = 0;
        min = INF;
        while(j < G->numVertex)
        {
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }
        printf("(%d,%d) ",adjvex[k],k);
        lowcost[k] = 0;
        for(j = 1;j < G->numVertex;j++)
        {
            if(lowcost[j] != 0 && G->edge[k][j] < lowcost[j])
            {
                lowcost[j] = G->edge[k][j];
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    printf("\n******************************\n");
    printf("\n运用Prim算法得到的最短路径为：\n");
    Prim(&G);
    printf("\n******************************\n");
    return 0;
}