Wannafly Camp 2020 Day 2B 萨博的方程式 - 数位dp
给定 \(n\) 个数 \(m_i\),求 \((x_1,x_2,...,x_n)\) 的个数,使得 \(x_1 \ xor\ x_2\ xor\ ...\ xor\ x_n = k\),且 \(0 \leq x_i \leq m_i\)
Solution
从最高位开始看起,毫无疑问,如果 \(m_i\) 的某一位是 \(0\),那么 \(x_i\) 的这一位只能填 \(0\),所以只有那些 \(m_i\) 最高位是 \(1\) 的才具有选择权。
考虑从最高位数起,哪一位 \(pos\) 开始,存在一个 \(i\) 使得 \(x_i \neq m_i\),很显然这个 \(pos\) 是有范围的,它一定是从最高位开始往下的一段区间,因为如果某一位上,\(m_i\) 这一位的异或和 \(\neq k\) 的这一位,更低的位就可以扔掉了。
假设从第 \(pos\) 位开始,存在一个 \(i\) 使得 \(x_i \neq m_i\),我们需要统计所有满足这个条件的答案,不妨把这个部分的贡献称作第 \(pos\) 位的贡献。
设 \(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个 \(m\) 的当前位是 \(1\) 的数中,选择了 \(j\) 个 \(x\) 的当前位是 \(1\),\(i-j\) 个是 \(0\) 的方案数,那么
\]
考虑如何统计第 \(pos\) 位的贡献,假设这位 \(1\) 的个数为 \(cnt\),那么 \(f[cnt][j]\) 答案的贡献是 \(f[cnt][j]/2^{pos}\),当 \(j\) 与 \(k\) 该位的奇偶性相同时产生。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 105;
const int mod = 1e9+7;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(!b) {
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y,y=t-(a/b)*y;
}
inline int inv(int a,int b) {
int x,y;
return exgcd(a,b,x,y),(x%b+b)%b;
}
int n,k,m[N],f[N][N];
int solve(int pos) {
if(pos<0) return 1; //!
int ret=0,cnt=0;
memset(f,0,sizeof f);
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if((m[i]>>pos)&1) {
++cnt;
f[cnt][0]=f[cnt-1][0]*(1<<pos)%mod; //!
for(int j=1;j<=cnt;j++) {
f[cnt][j]=f[cnt-1][j-1]*(m[i]%(1<<pos)+1)
+f[cnt-1][j]*(1<<pos);
f[cnt][j]%=mod;
}
}
else {
for(int j=0;j<=cnt;j++) {
f[cnt][j]=f[cnt][j]*(m[i]+1); //!
f[cnt][j]%=mod;
}
}
}
int r=inv(1<<pos,mod);
for(int j=(k>>pos&1);j<cnt;j+=2) {
ret+=f[cnt][j]*r;
ret%=mod;
}
if((cnt&1) == ((k>>pos)&1)) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(m[i]>>pos&1) m[i]^=(1<<pos);
}
return (solve(pos-1) + ret)%mod;
}
else return ret;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n>>k) {
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>m[i];
cout<<solve(31)<<endl;
}
}
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