[luogu3600]随机数生成器

题面在这里

题意

给定n个[1-x]的随机整数\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)和q个询问区间\((l_i,r_i)\),

求出\(\max_{i=1}^{q}({\min_{j=l_i}^{r_i}{a_j})}\)的期望

对于10%的数据，\(n,x,q≤6\)。

对于另外20%的数据，\(q=1\)。

对于50%的数据，\(n,x,q≤300\)。

对于100%的数据，\(1≤n,x,q≤2000\)，对于每个i，\(1≤li≤ri≤n\)。

sol

又是一道期望大火题

又一次去看题解(我怎么这么菜)

套路1:区间排序和去重

考虑两个区间\([l1,r1]\)和\([l2,r2]\)，其中\(l1\geq l2\geq r2 \geq r1\)，那么有\(min[l1,r1]\leq min[l2,r2]\)，

因此，如果大区间覆盖率小区间，那么大区间对于期望就根本没有贡献(因为小区间的\(min\)总是会大于大区间)，经过一番排序和去重之后可以得到若干个\(l\)和\(r\)都单调递增的区间,这里的区间个数记为\(tot\)

q=1

接下来我们思考每个询问的结果和最后答案的关系

一个询问区间中只要有一个数 \(\leq x\),那么这个区间的答案都会\(\leq x\);

如果每个询问区间的答案都\(\leq x\),那么最后的最大值就会\(\leq x\)

于是我们可以通过各种组合乱搞来满足上面的需求,

得到单个询问区间结果\(\leq x\)的概率\(P(ans\leq x)\)

当q=1的时候\(\sum_{i=1}^{i=x}{(P(ans\leq i)-P(ans\leq i-1))*i}\)就是答案啦

并且根据上面的式子我们可以继续往下推出

一个重要的公式

对于一个随机正整数变量\(k\geq 0\)，其期望

\[E(k)=\sum_{i=1}^{inf}{P(k\geq i)}
\]

update 3.27:其实就是一个差分嘛

考虑暴力求出\(P(k \geq i)\)

按照上面的思路,一个更好的做法是求出\(P(k\leq i-1)\)那么其实

\[E(k)=\sum_{i=1}^{x}{P(k\geq i)}=\sum_{i=1}^{x}{(P(k\leq i)-P(k\leq i-1))*i}=x-\sum_{i=0}^{x-1}{P(k\leq i)}
\]

(因为\(P(k\leq x)==1\))

于是对于每一个\(P(k\leq x)\)我们暴力计算

套路2:考虑单个元素贡献(n,x,q≤300)

需要转换一下思路:考虑每一个数\(a_i\)能满足哪些区间

由于我们之前已经对区间进行了去重和排序,

那么我们可以知道,每个元素所在的询问集合一定是一个连续的区间

意即只要这一个元素\(\leq i\),那么这个元素所在的询问集合的取值都会\(\leq i\);

而我们需要用某些元素满足所有的询问

因此这个问题转换成了一个区间覆盖问题:

我们有\(n\)个区间(\(n\)个元素各对应一个询问集合),每个询问区间有\(p=P(k\leq i)=\frac{i}{x}\)的概率被取到,求整段\([1-q]\)被覆盖的概率

于是我们可以设置状态\(f[i]\)表示强制选择第\(i\)个区间,并且选择区间集合包含了前\(i\)个区间的右端点的概率,则

\[f[i]=(\sum_{j=1,r[j]>=l[i]-1}^{i-1}{f[j]\times(1-p)^{i-j-1}}\times p)+[l[i]==1](1-p)^{i-1}\times p
\]

最后$$Ans=\sum_{i=1,r[i]==n}^{{n}{(f[i]\times(1-p)}{n-i})}$$

然而这个转移是\(O(n^2)\)的有木有!!!

其实有另一种更简单的50分做法,由于跟正解关系不大故不做赘述

最后的DP优化:单调指针/前缀和(1≤n,x,q≤2000)

可以看出我们每次需要O(n)计算的一大段\(\sum_{j,r[j]>=l[i]-1}^{i-1}{f[j]\times(1-p)^{i-j-1}}\)其实是一段连续并且左端点和右端点均单调不降的

因此使用单调指针记录这个值即可,一次DP的复杂度降为\(O(n)\)

update 3.27:直接记录一个前缀和就可以啦!!!

总复杂度\(O(nx)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
const int mod=666623333;
const int N=2010;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
il ll read(){
    RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
    return data*w;
}

il ll poww(ll a,ll b){
    a=(a%mod+mod)%mod;RG ll ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ret=ret*a%mod;
    return ret;
}
il ll fac(ll x){if(!x)return 1;return fac(x-1)*x%mod;}

int tot,cnt;
struct line{int l,r;}T[N],Q[N],L[N];
bool cmp(line a,line b){return a.l==b.l ? a.r<b.r : a.l<b.l;}
int n,x,q,ans;

il void init(){
    n=read();x=read();q=read();
    for(RG int i=1;i<=q;i++){T[i].l=read();T[i].r=read();}
    sort(T+1,T+q+1,cmp);
    for(RG int i=1;i<=q;i++){
        while(Q[tot].r>=T[i].r&&tot)tot--;
        if(Q[tot].l<T[i].l&&Q[tot].r<T[i].r)Q[++tot]=T[i];
    }
    for(RG int i=Q[1].l,pl=1,pr=0;i<=n;i++){
        while(Q[pl].r<i&&pl<=tot)pl++;
        while(Q[pr+1].l<=i&&pr!=tot)pr++;
        L[++cnt]=(line){pl,pr};
    }
}

int f[N];
il int calc(int a){
    RG int p=1ll*(a-1)*poww(x,mod-2)%mod,sum=0;
    RG int fp=(1-p+mod)%mod,revfp=poww(fp,mod-2);
    memset(f,0,sizeof(f));

    for(RG int i=1,l=1,r=0,S=0,k=0;i<=cnt;i++){
        if(L[i].l==1)f[i]=poww(fp,i-1);

        while(L[r+1].r>=L[i].l-1&&r+1<i)
            r++,S=(S+1ll*f[r]*poww(fp,cnt-r-1)%mod)%mod;
        while(L[l].r<L[i].l-1&&l<r)
            S=(S-1ll*f[l]*poww(fp,cnt-l-1)%mod+mod)%mod,l++;
        f[i]=1ll*(f[i]+1ll*S*poww(revfp,cnt-i)%mod)%mod*p%mod;
    }

    for(RG int i=1;i<=cnt;i++)
        if(L[i].r==tot)
            sum=(sum+1ll*f[i]*poww(1-p+mod,cnt-i)%mod)%mod;

    return sum;
}

il void solve(){
    for(RG int i=1;i<=x;i++)
        ans=(ans+(1-calc(i)+mod))%mod;
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    init();
    solve();
    return 0;
}