Chapter 4 马尔科夫链
4.1 引言
现在要研究的是这样一种过程:
表示在时刻
的值(或者状态),想对一串连续时刻的值,比如:
,
,
... 建立一个概率模型。
最简单的模型就是:假设都是独立的随机变量,但是通常这种假设都是没什么根据的,也缺乏研究的意义。
举例来说的话,如果用来代替某个公司,比如Google,在
个交易日之后的股票价格。
那么说第天的股票价格和之前第
天,第
天,第
乃至第
天的股票价格一点关系都没有,这样是说不过去的。
但是说第天股票的收盘价格依赖于第
天的收盘价格还是有点道理的。
同样还可以做出这样的合理假设:在给定了所有过去的收盘价,
,...,
,那么第
天的收盘价格
仅仅依赖于第
天的收盘价格
。这种假设就定义了一个中随机过程,即Markov Chain(马尔科夫链)。
下面给出马尔科夫链的正式定义:
令是一个取有限或者可数个可能值的随机过程。
除非明确提到过,这个过程可能的取值将会用非负整数来表示。
如果,那么该过程就是在时刻
的状态为
。
这里假设只要过程是处于状态,那么下一步过程状态转为
的概率
是固定的。
(4.1)
对所有的状态,
,...,和
,
,
和所有的
都成立。
上面定义的过程就被称之为马尔科夫链。
方程(4.1)可以解释为:对于马尔科夫链,在给定了过去时刻的状态,
,...,
和当前的状态
,任何未来状态
和过去的状态无关,只和当前的状态有关。
代表了过程从状态
通过下一步转变到状态
的概率。由于概率都是非负的,而且过程随着时间也必须流转到接下来的某个状态,所以可以得到:
令表示一步转移概率
的矩阵,那么可以得到
例4.1 天气预报
假设明天是否下雨的依赖于过去的天气条件,但仅限于今天是否下雨,而和之前的天气状态无关。
假设今天下雨,明天也下雨的概率是;今天不下雨,明天下雨的概率是
。
令下雨时,过程的状态为,不下雨的时过程的状态为
。
那么上述过程就是一个两状态的马尔科夫链,其转移概率矩阵为:
4.2 Chapman-Kolmogorov等式
之前我们已经定义了一步转移概率,现在来定义
转移概率
,即处于状态
的过程经过了
步状态改变之后处于状态
的概率。
用公式来阐述就是:
显而易见的是。
Chapman-Kolmogorov等式提供了计算步转移概率的方法。
(4.2)
对于比较通俗的解释就是过程从状态
开始经过了
步转移之后到达状态,然后从状态
经过
步转移之后到达了状态
。把中间状态
的所有可能的概率加起来就是过程从状态
经过了
步之后转移到状态
的概率了。
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