[HAOI2015]数组游戏

题目大意：
　　有一排n个格子，每个格子上都有一个白子或黑子，在上面进行游戏，规则如下：
　　选择一个含白子的格子x，并选择一个数k，翻转x,2x,...,kx格子上的子。
　　不能操作者负。

思路：
　　将“某个格子上有一个白子 ”视作游戏的一个状态。
　　对于状态x，sg(x)=mex{sg(2x),sg(2x)^sg(3x),sg(2x)^sg(3x)^...^sg(kx)}。
　　由于SG函数的取值只与棋盘大小和棋子位置有关，因此我们可以记忆化。
　　然后我们就有了暴力构造SG函数的程序，实测只能过40%的点，大力卡常以后勉强能50%。
　　而且空间显然也开不下，只能用hash_map。
　　然而这题的SG函数有一些神奇的性质，例如，对于大小为10的棋盘，当x分别为1~10时，sg(x)分别为：
　　4 1 2 2 2 1 1 1 1 1
　　我们将它们进行分组：
　　(4)(1)(2)(2 2)(1 1 1 1 1)
　　可以发现，当不同棋子可以往后跳的步数相同时，它们的SG函数相同。
　　显然可以把它们分为2sqrt(n)组。
　　其中前sqrt(n)组都是一个子一组，后sqrt(n)组都是很多个一组。
　　这样，以sqrt(n)为界，对于我们需要的函数，判断一下参数的范围即可。

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 inline int getint() {
     char ch;
     while(!isdigit(ch=getchar()));
     int x=ch^'';
     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
     return x;
 }
 const int N=;
 int sg[N][],mex[N];
 int n,block;
 inline int next(const int &x,const int &y) {
     return x==y?x+:y/(y/(x+));
 }
 void getsg() {
     for(register int i=;i<=n;i=next(i,n)) {
         for(register int k=,tmp=;k<=i;k=next(k,i)) {
             int x=i/k;
             int t=(x>block)?sg[n/x][]:sg[x][];
             mex[tmp^t]=i;
             if((i/x-i/(x+))&) tmp^=t;
         }
         int tmp=;
         while(mex[tmp]==i) tmp++;
         ((i>block)?sg[n/i][]:sg[i][])=tmp;
     }
 }
 int main() {
     n=getint();
     block=floor(sqrt(n));
     getsg();
     for(register int m=getint();m;m--) {
         int ans=;
         for(register int w=getint();w;w--) {
             const int x=getint();
             ans^=(n/x>block)?sg[n/(n/x)][]:sg[n/x][];
         }
         puts(ans?"Yes":"No");
     }
     return ;
 }

暴力构造SG函数的程序：

 #include<cmath>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 #include<ext/hash_map>
 inline int getint() {
     char ch;
     while(!isdigit(ch=getchar()));
     int x=ch^'';
     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
     return x;
 }
 __gnu_cxx::hash_map<int,int> sg,mex;
 int n;
 int getsg(const int x) {
     if(sg.count(x)) return sg[x];
     for(int k=,tmp=;k<=n/x;k++) {
         tmp^=getsg(x*k);
         mex[tmp]=x;
     }
     for(sg[x]=;mex[sg[x]]==x;sg[x]++);
     return sg[x];
 }
 int main() {
     n=getint();
     for(int i=n;i;i--) getsg(i);
     for(int m=getint();m;m--) {
         int ans=;
         for(int w=getint();w;w--) {
             ans^=getsg(getint());
         }
         puts(ans?"Yes":"No");
     }
     return ;
 }