29. Divide Two Integers[M]两数相除

题目

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Given two integers dividend and divisor, divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

Return the quotient after dividing dividend by divisor.

The integer division should truncate toward zero.

Example 1:

  Input: dividend = 10, divisor = 3

  Output: 3

Example 2:

  Input: dividend = 7, divisor = -3

  Output: -2

Note:

• Both dividend and divisor will be 32-bit signed integers.
• The divisor will never be 0.
• Assume we are dealing with an environment which could only store integers within the 32-bit signed integer range: \([−2^{31}, 2^{31} − 1]\). For the purpose of this problem, assume that your function returns \(2^{31} − 1\) when the division result overflows.

思路

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位移运算

（1）题意

要求我们实现两个整数的除法的操作，并且不能使用乘、除、模运算。两个整数都是32位整数，假设被除数是M，除数是m。

（2）特殊情况：溢出

除法的溢出有两种情况：

• 除数m为0（虽然题目已经假设m不为0，但是自己还是要考虑到）；
• 被除数M是最小数INT_MIN，除数m为1。

（3）符号处理：异或

在除法操作中，同号为正，异号为负，这有点类似于异或操作：值相同异或为0，值不同异或为1。于是我们利用一个标志位来记录符号。再对被除数M和除数m取绝对值，这里注意，取绝对值时，由于32位整数范围为\([−2^{31}, 2^{31} − 1]\)，在对除数m取绝对值时，必须将类型设置long或者long long型，否则当除数m为最小值时，取绝对值后会溢出。

（4）除法实现：逐渐逼近

题目要求不能利用乘、除、取模来实现除法。首先看除法的意义，假设36 / 9 = 4，将它换成36 - 9 - 9 - 9 - 9 = 0，这个时候发现可以用减法来逐渐逼近：36减去4次9等于0，而36除以9也是4（实际上减去减去4次9就是9 *4了）。另一种情况是：如果不能整除怎么办？假设36 / 8 ，它的商是4。换成36 - 8 - 8 - 8 - 8 =4 < 8，这个时候发现不够减了，就不减了，商正好是4。于是我们可以用一个循环来实现除法操作：看被除数M减去了几次除数m，将减去多次m后的值与m比较（小于等于m时），得到商。

但是，这种每次只减一个除数m的循环太慢了，程序很容易超时。我们希望每次可以多减几个m，比如2的倍数次。为什么是2的倍数次？因为两次可以用位运算实现。

m << 0 相当于m * 1

m << 1 相当于m * 2

m << 2 相当于m * 4

于是我们需要利用一个变量i来记录位运算的移动次数，以及一个临时变量来记录除数m的左移操作之后的结果（m << i）。

此时的循环变为M 与 m << i比较。

Tips

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位操作（C++）

（1）位运算

|| | | |

| :---: | :---: | :---: |

| & | 逻辑与 | 0 & 1 =0 |

| | | 逻辑或 | 0 | 1 = 1 |

| ^ | 异或 | 0 ^ 1 = 1 |

| ~ | 逐位求反 | ~1 = 0 |

| << | 左移 | 8 << 1 = 16 |

| >> | 右移 | 8 >> 1 = 4 |

| <<= | 左移后赋值 | a <<=1 即 a= a<<1 |

| >>= | 右移后赋值 | a >>=1 即 a= a>>1 |

（2）用途

• 由上面可以看出a<<b就是将a乘以2的b次方（\(a * 2^b\)）。通常认为<<1要比2更快，因为位移操作是更底层的一些操作。因此程序中2的操作尽量用>>1代替，以提高程序效率。此外，可以用1<<来定义一些常量。
• 类似地，a>>b就是将a除以2的b次方取整（\(\frac{a}{2^b}\)）。通常用>>1来代替/2的操作，比如二分查找，堆的插入操作等。想办法用>>代替除法可以使程序的效率大大提高。

C++

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {

        //首先考虑特殊情况：溢出
        if(divisor == 0 || (dividend == INT_MIN && divisor == -1))
            return INT_MAX;

        //异或操作处理正负号
        bool isNeg = ((dividend < 0) ^ (divisor < 0));

        long m = abs((long)dividend); //被除数
        long n = abs((long)divisor); //除数，这里必须是long或者long，否则取绝对值后会溢出。
        long result = 0; //商
        long count = 0; //记录次数

        while(m >= n){

            long tempVal = n; //记录左移操作的中间结果
            count = 0;

            //每次乘以2，直到不能减为止
            while(m >= (tempVal << 1)){
                count ++;
                tempVal <<= 1;
            }

            m -= tempVal;
            result += 1 << count;
        }

        return isNeg ? -result : result;
    }
};

Python

参考

[1] https://blog.csdn.net/a1351937368/article/details/77746574/