[CodeVS4438]YJQ Runs Upstairs

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题目大意：

一个\(n(n\le50)\)个点\(m(m\le300)\)条边的DAG，保证从\(1\)到\(n\)的所有路径经过边数均小于等于\(20\)。每条边有一个边权\(w_i(w_i\le50)\)，求从\(1\)到\(n\)经过边权方差最小值。

思路：

\[\frac1n\sum(x_i-\overline{x})^2=\frac1n\left[\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}n\right]
\]

\(f[i][j][k]\)表示\(1\sim i\)的路径经过\(j\)条边，\(\sum w_i=k\)时，\(\sum w_i^2\)的最小值。根据拓扑序DP即可。

源代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstring>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
const int N=51,D=21,W=1001;
struct Edge {
	int to,w;
};
std::vector<Edge> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v,const int &w) {
	e[u].push_back((Edge){v,w});
}
int n,m,f[N][D][W],ind[N];
std::queue<int> q;
inline void upd(int &a,const int &b) {
	a=std::min(a,b);
}
inline void kahn() {
	f[1][0][0]=0;
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(!ind[i]) q.push(i);
	}
	while(!q.empty()) {
		const int &x=q.front();
		for(unsigned i=0;i<e[x].size();i++) {
			const int &y=e[x][i].to,&w=e[x][i].w;
			for(register int i=0;i+1<D;i++) {
				for(register int j=0;j+w<W;j++) {
					upd(f[y][i+1][j+w],f[x][i][j]+w*w);
				}
			}
			if(!--ind[y]) q.push(y);
		}
		q.pop();
	}
}
int main() {
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	n=getint(),m=getint();
	for(register int i=0;i<m;i++) {
		const int u=getint(),v=getint();
		add_edge(u,v,getint());
		ind[v]++;
	}
	kahn();
	double ans=1e9;
	for(register int i=1;i<D;i++) {
		for(register int j=0;j<W;j++) {
			ans=std::min(ans,(f[n][i][j]-1.*j*j/i)/i);
		}
	}
	printf("%.4f\n",ans);
	return 0;
}