【BZOJ2749】【HAOI2012】外星人[欧拉函数]

外星人

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Description

　　

Input

 　　

Output

　　输出test行，每行一个整数，表示答案。

Sample Input

　　1
　　2
　　2 2
　　3 1

Sample Output

　　3

　　

HINT

　　Test<=50 Pi<=10^5,1<=Q1<=10^9

Main idea

　　给定一个数，用Πp[i]^q[i](p<=10^5,q<=10^9)的形式表示，问最少需要对这个数字x进行几次x=Φ(x)操作使得x=1。

Solution

　　这显然是一道数论题。
　　首先想到了只有Φ(2)=1，所以最后答案必然需要转成带2的形式，我们先考虑一个数字，由欧拉函数的推导公式Φ(Πp[i]^q[i])=Π(p[i]-1)*p[i]^(q[i]-1)可以发现每次求Φ会消去一个质因数2，并且产生若干个2（产生的2是有上限的）。
　　这句话是什么意思呢？
　　我们举个例子：讨论一个偶数180=2^2 * 3^2 * 5，Φ(180)=2^1 * (3-1)*3 * (5-1)=48，这里产生了3个2，消去了1个2。
　　所以我们只要求出产生了几个2即可（由于除了Φ(2)以外的数都是偶数，所以任意奇数只要经过一遍求Φ就可以变为偶数来处理，次数+1），因为每次只能消去一个1，所以答案就应该是这个数分解出的2的个数。
　　知道欧拉函数是一个积性函数，并且我们现在求的显然是一个完全积性函数，由于这个性质，求分解出几个2可以使用线性筛来实现，对于每一项p[i]^q[i]分解出的个数就是(p[i]分解出的个数*q[i])，答案就是Σ(每一项分解出的个数)。

Code

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 using namespace std;  

 const int ONE=;

 int T;
 int f[ONE],p[ONE],tot,phi[ONE];
 int x,y,m,PD;
 long long Ans;

 int get()
 {
         int res,Q=;    char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 void Get_f(int n)
 {
         phi[]=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(!f[i])
             {
                 p[++tot]=i;
                 phi[i]=phi[i-];
             }

             for(int j=;j<=tot;j++)
             {
                 if(i*p[j]>n) break;
                 f[i*p[j]]=;
                 phi[i*p[j]]=phi[i]+phi[p[j]];
                 if(i%p[j]==) break;
             }
         }
 }

 int main()
 {
         Get_f(ONE-);
         T=get();
         while(T--)
         {
             m=get();
             Ans=PD=;
             for(int i=;i<=m;i++)
             {
                 x=get();    y=get();
                 Ans+=(long long)phi[x]*y;
                 if(!PD && x==) PD=;
             }
             printf("%lld\n",Ans+(!PD));
         }
 }