bzoj 2844 albus就是要第一个出场 - 线性基

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　　这是个通往vjudge的虫洞

　　这是个通往bzoj的虫洞

题目大意

　　给定集合$S$，现在将任意$A\subseteq S$中的元素求异或和，然后存入一个数组中（下标从1开始），然后从小到大排一个序。问$q$第一次出现在$A$中的下标。

　　我们可以通过线性基得到值域上有多少个异或和比$q$小，现在问题来了，怎么求$q$的下标。

　　通过打表找规律，以及手动枚举可以发现一个结论。

定理1 设线性基为$B$，那么在$S$的子集的异或和中，出现的异或和的出现的次数是$2^{\left | S \right |- \left | \mathfrak{B} \right |} $。

　　证明 假如要考虑异或出一个数$x$，基外选出的数的异或和为$s$，那么还需要$x$ ^ $s$，对于它，基内的线性表示的方法是唯一的。

　　所以定理得证。

　　于是再做一次快速幂，这道题就做完了。

　　PS:这道题数据有错，它没有保证$q$一定能被异或出来

Code

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 const int MAX_BASE = , M = ; 

 int qpow(int a, int pos) {
     int pa = a, rt = ;
     for ( ; pos; pos >>= , pa = pa * pa % M)
         if (pos & )
             rt = rt * pa % M;
     return rt;
 }

 int n, q;
 int *ar;
 int b[MAX_BASE];
 int s[MAX_BASE];

 inline void init() {
     scanf("%d", &n);
     ar = new int[(n + )];
     for (int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d", ar + i);
     scanf("%d", &q);
 }

 int cnt = , rk = ;
 inline void solve() {
     for (int i = ; i <= n; i++) {
         for (int j = MAX_BASE - ; ~j; j--) {
             if (ar[i] & ( << j))    ar[i] ^= b[j];
             if (ar[i] & ( << j)) {
                 b[j] = ar[i];
                 cnt++;
                 break;
             }
         }
     }
     for (int i = ; i < MAX_BASE; i++)
         if (b[i])
             s[i] = ;
     for (int i = ; i < MAX_BASE; i++)
         s[i] += s[i - ];
     for (int i = MAX_BASE - ; ~i; i--)
         if ((q & ( << i)) && b[i])
             rk |= ( << (s[i] - ));
     printf("%d\n", ((rk % M) * qpow(, n - cnt) + ) % M);
 }

 int main() {
     init();
     solve();
     return ;
 }