轮廓线DP

轮廓线DP

​ 刚刚学了轮廓线DP，想了好久才懂。

​ 我的理解就是用一条线的状态去更新另一条线的状态，然后将格子填满。

​ 图中正方形即是要填东西（根据题意）的格子，红线的状态是由黑线转移过来的。

​ 对于每一条线都有一个自己的状态（一个二进制数，先不用看1和0是啥意思），如下图。

​ 图中黑线的状态即是11101101（最左边的是二进制位第零位），编号从左往右为1，2，3，4，5，6，7，8。

​ 具体一点，我们上例题。

​ 题目大意：给你一个\(n*m\)\((1 <= n,m <= 100)\)的网格，让你在网格里填上长度不小于2的线段，问有多少种情况，对结果%\(1e9 + 7\)。

​

​ 这是某一种情况。

​ 现在我们轮廓线上的1和0就有意义了：如果竖着的这条线上的数为1的话，那么这个格子必须画一条横线（图一）；如果横着的这条线上的数为1的话，那么这个格子必须画一条竖线（图二）；我们发现，横线和竖线上不能同时为1，这是冲突的；如果横线和竖线上都为0，那么这个格子里话横线竖线都可以。

​ （不会画图，丑死了）

（图一）

（图二）

下面为了好打，把图一定义为（1， 0），图二定义为（0，1）。\(a[]\)是二进制数，\(i\)是下标：（\(a[i - 1]\), \(a[i]\)）

对于一个格子，它上面的黑线有三种情况：（1， 0），（0， 1），（0， 0）。然后我们考虑怎么将黑线的状态转移到红线。

<1> 当黑线为（1，0）时，红线可以转移到的状态有：（0，1），（0，0）。（其他位上二进制数都一样）

​

<2> 当黑线为（0，1）时，红线可以转移到的状态有：（1，0），（0，0）。

​

<3> 当黑线为（0，0）时，红线可以转移到的状态有：（0，1），（1，0）。（差不多，就不画了）

​ 像这样一直转移下去，填完\(n*m\)个格子，就可以得到所有的方案。

​ 我们考虑开一个二维\(unordered\) _ \(map\)，\(unordered\)_\(map<int , long long> dp[2]\)；\(dp[0,1][x] = val\)，第一维是个滚动数组，第二维\(x\)是这条轮廓线的状态，\(val\)是这条线填完对应的那个格子后合法的方案数。

​ 为啥用\(unordered\)\(map\)，而不用\(map\)呢？\(map\)： 该类型的搜索时间复杂度为\(O(logn)\) ；\(unordered_map\) ： 搜索时间复杂度\(O(1)\)为平均时间，最坏情况下的时间复杂度为\(O（n）\);

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int p = 1e9 + 7;
int n, m;

void work(int n, int m) {
	unordered_map <int, long long> dp[2];
	int now = 0, nxt = 1;
	dp[now][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		for(int j = 1;j <= m; j++) {
			dp[nxt].clear();
			for(auto k = dp[now].begin();k != dp[now].end(); k++) {
				int nowst = k -> first, nowval = k -> second;
				int u = (nowst >> j) & 1, l = (nowst >> (j - 1)) & 1;
				if(u == 0 && l == 0) {
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << j)] += nowval) %= p;
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << (j - 1))] += nowval) %= p;
				}
				else if(u == 1 && l == 0) {
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << j)] += nowval) %= p;
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << j) ^ (1 << (j - 1))] += nowval) %= p;
				}
				else if(u == 0 && l == 1) {
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << (j - 1))] += nowval) %= p;
					(dp[nxt][nowst ^ (1 << j) ^ (1 << (j - 1))] += nowval) %= p;
				}
			}
			swap(now, nxt);
		}
		dp[nxt].clear();
		for(auto k = dp[now].begin();k != dp[now].end(); k++) {
			int nowst = k -> first, nowval = k -> second;
			if((nowst >> m) ^ 1) dp[nxt][nowst << 1] = nowval;
		}
		swap(now, nxt);
	}
	printf("%d", dp[now][0]);
}

int main() {

	scanf("%d %d", &n, &m);
	work(n, m);

	return 0;
}

我也是刚学，哪说的不对的还希望大佬指出。