GYM100526I Interesting Integers

题目大意

定义一种 \(Gabonacci\) 数列：

\[\begin{array}{c}
G_1=a\\
G_2=b\\
G_i=G_{i-1}+G_{i-2}
\end{array}
\]

给定一个正整数 \(n\) ，求最小的 \(a\) ， \(b\) 使得 \(n\) 是该数列上的一个数。 \(2\le n\le 10^9\)

题解

看到这道题，首先的想法是可以先与处理出类似于矩阵快速幂一样的东西，使得我们可以在 \(O(1)\) 的时间内算出对于一种 \(a\) 与 \(b\) 在 \(x\) 位之后的数字。因为 \(Fibonacc\) 数列的第 \(50\) 位早已超过了 \(10^9\) ，所以我们大约处理 \(50\) 位左右即可。

作者这里直接利用了矩阵乘法，预处理出前 \(40\) 位的矩阵。而这里的 \(Gabonacci\) 数列和 \(Fibonacc\) 数列的状态转移矩阵是完全一模一样的，应该没人不知道吧，给大家看一下：

\[\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&0
\end{bmatrix}
\]

而初始矩阵就易得为：

\[\begin{bmatrix}
b&a
\end{bmatrix}
\]

即：

\[\begin{bmatrix}
G_{i-1}&G_{i-2}
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
G_i&G_{i-1}
\end{bmatrix}
\]

然后我们考虑每一个预处理好的矩阵，我们如何通过状态转移矩阵和最后的值来求出初始的矩阵呢？我们可以回顾矩阵乘法，发现对于某一个转移矩阵：

\[\begin{bmatrix}
x&y \\
y&z
\end{bmatrix}
\]

\[G_i=a*x+b*y
\]

这不就是求一个不定方程的特殊解吗？我们可以利用扩展欧几里得，计算出这个解。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=45;
struct Matrix
{
    int n,m,h[3][3];
    Matrix()
    {
        n=m=0;
        memset(h,0,sizeof(h));
    }
    void Set1(const int x)
    {
        n=m=x;
        for(int i=1;i<=x;++i)
        h[i][i]=1;
    }
};
Matrix operator * (const Matrix a,const Matrix b)
{
    Matrix ans;
    ans.n=a.n;
    ans.m=b.m;
    for(int i=1;i<=a.n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=b.m;++j)
        {
            for(int k=1;k<=a.m;++k)
            ans.h[i][j]+=a.h[i][k]*b.h[k][j];
        }
    }
    return ans;
}
int t,n;
Matrix stp[MAXN],tmp,ans;
int l,r,mid,tag;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int z)
{
    if(b==0)
    {
        x=z;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y,z);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ;
}
signed main()
{
    stp[1].n=stp[1].m=2;
    stp[1].h[1][1]=stp[1].h[1][2]=stp[1].h[2][1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN-5;++i)
    stp[i]=stp[i-1]*stp[1];
    tmp.n=1;
    tmp.m=2;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=MAXN-5;i>=1;--i)
        {
            int a=stp[i].h[1][1],b=stp[i].h[2][1];
            int x,y,z=gcd(a,b);
            if(n%z!=0)
            continue;
            exgcd(a,b,x,y,z);
            x*=n/z;
            y*=n/z;
            int addx=lcm(a,b)/a;
            int addy=lcm(a,b)/b;
            int k=abs(x-y)/(addx+addy);
            if(x<y)
            {
                if(x+addx*k<y-addy*k)
                ++k;
                x+=addx*k;
                y-=addy*k;
            }
            else
            {
                if(x-addx*k<y+addy*k)
                --k;
                x-=addx*k;
                y+=addy*k;
            }
            if(x<=0||y<=0)
            continue;
            printf("%lld %lld\n",y,x);
            break;
        }
    }
    return 0;
}