Gym100739H Hard Molecules

Hard Molecules

给定一个连通图中每个点的度数，求一个满足条件的图，图可以有重边，不能有自环。

n<=5000, d_i<=10⁹

题解

如果不要求图连通，那么只需要判断

\[\sum d_i \mod 2=0\\
\max\{d_i\} \leq \frac{\sum d_i}{2}
\]

然后将度数分成两部分连边即可。

现在要求图连通，那么就先做一棵生成树出来。

由于我们想让每个点的非树边最大度数最小，所以我们可以贪心：维护一棵树，每次选择树上度数最大的点和树外度数最大的点连边。

CO int N=5000+10;
int n,d[N],G[N][N];

IN void connect(int x,int y,int w){
	G[x][y]+=w,G[y][x]+=w;
	d[x]-=w,d[y]-=w;
}

bool vis[N];

bool build_tree(){
	int root=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
		if(d[i]>d[root]) root=i;
	vis[root]=1;
	for(int t=1;t<n;++t){
		int a=-1;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(vis[i])
			if(a==-1 or d[i]>d[a]) a=i;
		int b=-1;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i])
			if(b==-1 or d[i]>d[b]) b=i;
		if(a==-1 or b==-1) return 0;
		if(d[a]==0 or d[b]==0) return 0;
		connect(a,b,1);
		vis[b]=1;
	}
	return 1;
}

typedef pair<int,int> pii;
vector<pii> L,R;

bool check(){
	LL tot=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) tot+=d[i];
	if(tot&1) return 0;
	tot>>=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(d[i]>tot) return 0;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(d[i]){
		if(tot>=d[i]){
			tot-=d[i];
			L.push_back(pii(d[i],i));
		}
		else{
			if(tot) L.push_back(pii(tot,i));
			R.push_back(pii(d[i]-tot,i));
			tot=0;
		}
	}
	return 1;
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(d[i]);
	if(build_tree() and check()){
		puts("Yes");
		for(int i=0,p=0;i<(int)L.size();++i){
			for(;p<(int)R.size() and L[i].first>=R[p].first;++p){
				connect(L[i].second,R[p].second,R[p].first);
				L[i].first-=R[p].first;
			}
			if(L[i].first){
				connect(L[i].second,R[p].second,L[i].first);
				R[p].first-=L[i].first;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;++i,puts(""))
			for(int j=i+1;j<=n;++j) printf("%d ",G[i][j]);
	}
	else puts("No");
	return 0;
}