模板BSGS(SDOI2011计算器) 模板EXBSGS
BSGS和EXBSGS是OI中用于解决A^xΞB(mod C)的常用算法。
1.BSGS
BSGS用于A,C互质的情况。
令m=sqrt(C),此时x可表示为i*m+j。
式中i和j都<=sqrt(C)
原式Ax≡B(mode C) -->Ai*m * Aj≡B(mode C)
枚举Ai*m,此时Ai*m相当于系数。//O(sqrt(C))
现在我们可用exgcd/费马小定理求逆元算出Aj%C的值
通过预处理将A1~m存入map/哈希表。//O(1)//用map会多一个log
解决了。
时间复杂度O(sqrt(C)),思想类似meet_in_the_middle。
代码:
#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll fastpow(ll x,int y,int mod)
{
ll ret = 1ll;
while(y)
{
if(y&)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=;
}
return ret;
}
void ORZ(){printf("Orz, I cannot find x!\n");}
ll F2(ll y,int z,int p)
{
ll tmp = fastpow(y,p-,p);
tmp = tmp*z%p;
return tmp;
}
int hed[],cnt=;
struct EG
{
int to,w,nxt;
}e[];
void ae(int f,int t,int w)
{
e[++cnt].to = t;
e[cnt].w=w;
e[cnt].nxt = hed[f];
hed[f] = cnt;
}
int find(int x)
{
int now = x%;
for(int j=hed[now];j;j=e[j].nxt)
if(e[j].to==x)
return e[j].w;
return -;
}
void BSGS(ll y,int z,int p)
{
if(!y&&z){ORZ();return ;}
cnt=;
memset(hed,,sizeof(hed));cnt=;
ae(,,);
int m = (int)sqrt(p);
ll now = ;
for(int i=;i<=m;i++)
{
now = now*y%p;
if(find(now)==-)
{
ae(now%,now,i);
}
}
ll u = ;
for(int i=;i<=m+;i++)
{
ll tmp = F2(u,z,p);
ll ans = find(tmp);
if(~ans)
{
printf("%lld\n",(ans+i*m)%p);
return ;
}
u=u*now%p;
}
ORZ();
}
int T,K,y,z,p;
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&K);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&y,&z,&p);
y%=p;
if(K==)printf("%lld\n",fastpow(y,z,p));
else if(K==)
{
z%=p;
if(!y&&z){ORZ();continue;}
printf("%lld\n",F2(y,z,p));
}else
{
z%=p;
BSGS(y,z,p);
}
}
return ;
}
2.EXBSGS
EXBSGS用于解决C不一定是质数的问题。
对于方程Ax≡B(mode C)(gcd(A,C)!=1):
设d=gcd(A,C)。
如果B%d!=0的话,要么B==0,要么无解。
这时我们可以将三者同时/d,得到:
(A/d)*Ax-1≡ B/d (mode C/d)
此时A和C/d依然可能不互质(比如A=5,C=25)。
循环这个过程就可以啦。
我们最后得到的方程形式为:
(Ai/∏d)*Ax-i ≡ B/∏d(mode C/∏d)
其实就是D*Ax-i≡ B’(mode C’),然后套BSGS就好了。
代码:
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
void ORZ()
{
printf("No Solution\n");
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=,y=;
return ;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
}
ll inv(ll a,ll b)
{
ll x,y;
exgcd(a,b,x,y);
return (x%b+b)%b;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
return y?gcd(y,x%y):x;
}
ll F2(ll y,ll z,ll p)
{
y%=p,z%=p;
ll ret = inv(y,p);
return ret*z%p;
}
int hed[],cnt;
struct EG
{
ll to,nxt,w;
}e[];
void ae(ll f,ll t,ll w)
{
e[++cnt].to = t;
e[cnt].nxt = hed[f];
e[cnt].w = w;
hed[f] = cnt;
}
ll find(ll x)
{
for(int j=hed[x%];j;j=e[j].nxt)
if(e[j].to==x)
return e[j].w;
return -;
}
ll BSGS(ll y,ll z,ll p)
{
memset(hed,,sizeof(hed));cnt=;
ae(,,);
y%=p,z%=p;
if(!y&&z)
{
ORZ();
return -;
}
ll now = 1ll,m = (ll)sqrt(p);
for(int i=;i<=m;i++)
{
now=now*y%p;
if(find(now)==-)
ae(now%,now,i);
}
ll u = 1ll;
for(int i=;i<=m+;i++)
{
ll tmp = F2(u,z,p);
ll ans = find(tmp);
if(~ans)
return ans+i*m;
u=u*now%p;
}
ORZ();
return -;
}
void EXBSGS(ll y,ll z,ll p)
{
if(!y&&z){ORZ();return ;}
if(z==){printf("0\n");return ;}
ll d = gcd(y,p),cnt=,D=1ll;
while(d!=)
{
if(z%d){ORZ();return ;}
cnt++;
z/=d,p/=d;
D=D*(y/d)%p;
d=gcd(y,p);
if(D==z){printf("%lld\n",cnt);return ;}
}
ll ans = BSGS(y,z*inv(D,p)%p,p);
if(ans!=-)printf("%lld\n",(ans+cnt)%p);
}
ll y,z,p;
int main()
{
while(scanf("%lld%lld%lld",&y,&p,&z))
{
if(!y&&!z&&!p)break;
EXBSGS(y,z,p);
}
return ;
}
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