SICP 习题 （1.37）解题总结

SICP 习题 1.37是一条非常长的题目，主要讲的是无穷连分式。无穷连分式对我来说又是一个陌生的概念，于是又去百度了一番，发现无穷连分式也是一个非常有意思的话题，涉及到无理数的表达。只是我建议大家还是临时不要深入思考它的数学含义，一旦開始思考可能你又会跳进数学的深渊中不可自拔。

无穷连分式的形式例如以下：

就像书中说到的，作为无穷连分式的一个特殊样例，假设N和D都为1的话，f= 1/ φ， 这点能够结合我们之前对黄金切割率的计算证明，这里就不多说了，并且，假设你不能从数学上理解它也无所谓，不影响我们做题目，我们越来越强大了，强大到能够忽略题干中得数学定义直接完毕习题。

题目进一步讨论无穷连分式的计算，由于无穷连分式是无穷的，所以我们无法直接计算它的结果。为了计算一个无穷连分式的大概结果，简单的办法就是计算前面K个项，就像以下这样：

这样我们就能够通过K 次计算完毕某个无穷连分式的计算，当然，计算的结果是一个约数，不是准确数字。

题目要求我们完毕一个名为cont-frac的过程，这个过程接受3个參数，各自是n, d 和k，当中n表示无穷连分式的N部分，d表示无穷连分式的D部分，k代表取几个项进行计算。

假设我们细致看无穷连分式的定义，就会发现这是一个非常典型的递归定义。对于我们定义的cont-frac的过程，基本上它要做的事情就是：(cont-frac n) = N(n) / (D(n) + contact-frac(n+1))

除了上面的递归调用以外，cont-frac中还要完毕的就是对k的比較，确定什么时候结束递归调用，開始返回。

我定义的递归计算步骤例如以下：

(define (cont-frac n d k)
  (define (cont-frac-inner n d cur-k)
    (if (< cur-k k)
	(/ (n cur-k) (+ (d cur-k) (cont-frac-inner n d (+ cur-k 1))))
	(d cur-k)))
  (cont-frac-inner n d 1))

反过来，实现的迭代计算步骤例如以下：

(define (cont-frac-iter n d k)
  (define (cont-frac-iter-inner n d cur-k cur-value)
    (if (= cur-k k)
	(cont-frac-iter-inner n d (- cur-k 1) (d cur-k))
	(if (> cur-k 1)
	    (cont-frac-iter-inner n d (- cur-k 1) (+ (d cur-k) (/ (n cur-k) cur-value)))
	     (/ (n cur-k) cur-value))))

  (cont-frac-iter-inner n d k 0))

接着，题目还要求我们用这个cont-frac来计算黄金切割率，这个比較简单，直接给n和d传递一个返回1的lambda过程就好了，我的測试方法例如以下:

(define (Phi-test k)
  (cont-frac (lambda (i) 1.0)
	     (lambda (i) 1.0)
	     k))

(define (Phi-test-iter k)
  (cont-frac-iter (lambda (i) 1.0)
	     (lambda (i) 1.0)
	     k))

最后，题目中还要求我们确定k取值多少的时候能够计算出有4位精度的黄金切割率，这就非常easy了，多測试几个cont-frac的调用就好了。