[HDOJ5667]Sequence（矩阵快速幂，费马小定理）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

费马小定理：

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。

即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

注意这里使用快速幂的时候要根据费马小定理对p-1取模。还有注意a%p=0的情况。

递推式：f(n)=f(n-1)*c+f(n-2)+1 非齐次。

构造矩阵：

|c  |
|  |
|  |

初始的矩阵：

||
||
||

 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 #include <iomanip>
 #include <cstring>
 #include <climits>
 #include <complex>
 #include <fstream>
 #include <cassert>
 #include <cstdio>
 #include <bitset>
 #include <vector>
 #include <deque>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <ctime>
 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>

 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const ll maxn = ;
 ll n, a, b, c, p;

 typedef struct Matrix {
     ll m[maxn][maxn];
     ll r;
     ll c;
     Matrix(){
         r = c = ;
         memset(m, , sizeof(m));
     }
 } Matrix;

 Matrix mul(Matrix m1, Matrix m2, ll mod) {
     Matrix ans = Matrix();
     ans.r = m1.r;
     ans.c = m2.c;
     for(ll i = ; i <= m1.r; i++) {
         for(ll j = ; j <= m2.r; j++) {
                for(ll k = ; k <= m2.c; k++) {
                 if(m2.m[j][k] == ) continue;
                 ans.m[i][k] = ((ans.m[i][k] + m1.m[i][j] * m2.m[j][k] % mod) % mod) % mod;
             }
         }
     }
     return ans;
 }

 Matrix quickmul(Matrix m, ll n, ll mod) {
     Matrix ans = Matrix();
     for(ll i = ; i <= m.r; i++) {
         ans.m[i][i]  = ;
     }
     ans.r = m.r;
     ans.c = m.c;
     while(n) {
         if(n & ) {
             ans = mul(m, ans, mod);
         }
         m = mul(m, m, mod);
         n >>= ;
     }
     return ans;
 }

 ll qm(ll x, ll n, ll mod) {
     ll ans = , t = x;
     while(n) {
         if(n & ) ans = (ans * t) % mod;
         t = (t * t) % mod;
         n >>= ;
     }
     return ans;
 }
 int main() {
     // freopen("in", "r", stdin);
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--) {
         cin >> n >> a >> b >> c >> p;
         Matrix r;
         r.r = , r.c = ;
         r.m[][] = ;
         r.m[][] = ;
         r.m[][] = ;
         if(n == ) {
             printf("1\n");
             continue;
         }
         if(n == ) {
             printf("%I64d\n", qm(a, b, p));
             continue;
         }
         if(a % p == ) {
             printf("0\n");
             continue;
         }
         Matrix s;
         s.r = s.c = ;
         s.m[][] = c, s.m[][] = , s.m[][] = ;
         s.m[][] = , s.m[][] = , s.m[][] = ;
         s.m[][] = , s.m[][] = , s.m[][] = ;
         s = quickmul(s, n-, p-);
         ll ans = ;
         for(int i = ; i <= r.r; i++) {
             ans = (ans + (s.m[][i] * r.m[i][]) % (p - )) % (p - );
         }
         printf("%I64d\n", qm(a, (ans*b)%(p-), p));
     }
     return ;
 }