一本通1633【例 3】Sumdiv

1633：【例 3】Sumdiv

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【题目描述】

原题来自：Romania OI 2002

求 ABAB 的所有约数之和 mod9901。

【输入】

输入两个整数 A,B。

【输出】

输出答案 mod9901。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

15

【提示】

样例说明

2³=8，8 的所有约数为 1,2,4,8，1+2+4+8=15,15mod9901=15，因此输出 15。

数据范围与提示：

对于全部数据，0≤A,B≤5×10⁷。

sol：写了半天几乎吐血终于水过这道板子题

首先有个很显然的东西

对于一个数

如果他是p1^a1*p1^a2*p3^a3*~~*pn^an

那么他的因数和就是 （p1⁰+p1¹+p1²+...+p1^a1）*（p2⁰+p2¹+...+p2^a2）*...*（pn¹+pn²+...+pn^an）

于是这道题就是要把所有质因数的幂次的乘积，先来推一下等比公式

令 S = p⁰+p¹+p²+...+p^a，       （1）

则p*S = p¹+p²+...+p^a+p^a+1，   （2）

（2）-（1）可以得到 S*(p-1) = p^a+1-p⁰，所以S= （p^a+1-p⁰）/ (p-1) ，前面一项显然Ksm就可以解决，考虑后一项

需要用到p-1的逆元，如何求呢？？

定义一个数a（就求a的逆元）

对于任意一个数 X/a ≡ X*Inva  (%Mod)

易知 a*Inva ≡ 1 (%Mod)

随便推导下

原式: a*Inva = 1 (%Mod)
--> a*Inva-k*Mod = 1 (%Mod)
--> a*Inva+P*Mod = 1 (%Mod) (类ax+by=c的形式)

配上巨丑无比的代码

/*
原式: a*Inva = 1 (%Mod)
  --> a*Inva-k*Mod = 1 (%Mod)
  --> a*Inva+P*Mod = 1 (%Mod) (类ax+by=c的形式)
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=;
    bool f=;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<)+(s<<)+(ch^); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<)
    {
        putchar(x+''); return;
    }
    write(x/);
    putchar((x%)+'');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const ll Mod=;
ll A,B;
int cnt=;
struct Prime
{
    ll Shuz,Xis;
}Prim[];
inline ll Ksm(ll x,ll y)
{
    ll ans=;
    while(y)
    {
        if(y&)
        {
            ans=ans*x%Mod;
        }
        x=x*x%Mod;
        y>>=;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
    return (!y)?(x):(gcd(y,x%y));
}
inline void Exgcd(ll a,ll b,ll &X,ll &Y)
{
    if(b==)
    {
        X=;
        Y=;
        return;
    }
    Exgcd(b,a%b,X,Y);
    ll XX=X,YY=Y;
    X=YY;
    Y=XX-a/b*YY;
    return;
}
//a*Inva+Mod*k = 1 (%Mod)
inline ll Inv(ll Num)
{
    ll a,b,c,r,X,Y;
    a=Num;
    b=Mod;
    c=;
    r=gcd(a,b);
    Exgcd(a,b,X=,Y=);
    X=X*r/c;
    ll tmp=b/r;
    X=(X>=)?(X%tmp):(X%tmp+tmp);
//    printf("X=%lld Test=%lld\n",X,Num*X%Mod);
    return X;
}
inline void Solve(ll Num)
{
    int i;
    for(i=;i<=sqrt(Num);i++)
    {
        if(Num%i==)
        {
            Prim[++cnt].Shuz=i;
            Prim[cnt].Xis=;
            while(Num%i==)
            {
                Prim[cnt].Xis++;
                Num/=i;
            }
            Prim[cnt].Xis*=B;
        }
    }
    if(Num>)
    {
        Prim[++cnt]=(Prime){Num,B};
    }
    return;
}
int main()
{
    int i;
    ll ans=1ll;
    R(A); R(B);
    Solve(A);
    for(i=;i<=cnt;i++)
    {
//        printf("%lld %lld\n",Prim[i].Shuz,Prim[i].Xis);
        ll tmp=(Ksm(Prim[i].Shuz,Prim[i].Xis+)-+Mod)%Mod;
        tmp=tmp*Inv(Prim[i].Shuz-)%Mod;
        ans=ans*tmp%Mod;
    }
    Wl(ans);
    return ;
}
/*
input
2 3
output
15

input
10 6
output
5187

input
45279441 39876543
output
6060

input
9 8
output
5660
*/