「LOJ#10072」「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip（无向图最小环问题）（Floyd

题目描述

原题来自：CEOI 1999

给定一张无向图，求图中一个至少包含 333 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。在本题中，你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。若无解，输出 No solution.。图的节点数不超过 100100100。

输入格式

第一行两个正整数 n,mn,mn,m 表示点数和边数。
接下来 mmm 行，每行三个正整数 x,y,zx,y,zx,y,z，表示节点 x,yx,yx,y 之间有一条长度为 zzz 的边。

输出格式

输出一个最小环的方案：按环上顺序输出最小环上的点。若最小环不唯一，输出任意一个均可。若无解，输出 No solution.

样例

样例输入

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

样例输出

1 3 5 2

题解

无向图的最小环问题啊，不知道在多少场考试中间卡住了我的临门一脚。——hzz

教材：http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html#undefined

这个最小环中，一定会有一个编号最大的点。

那么我们设$dp[i][j][k]$为在只经过$1$~$k$的点时，$i$，$j$的最短距离。

那么如果我们设最小环中最大的点为$k$，它两边有点$i$，$j$，

那么答案的最小值就是$dp[i][j][k-1]+g[j][k]+g[k][i]$。

//

然后我们联想Floyd的过程，

$for$ $int$ $k=1$ $to$ $n$

$for$ $int$ $i=1$ $to$ $n$

　　$for$ $int$ $j=1$ $to$ $n$

也就是说，在$k$时，$i$，$j$的最小值都只中转了$1$~$k$的点。

这不就是我们要的$dp[i][j][k]$嘛？！

于是我们可以在Floyd的同时顺便维护答案。

并且$dp$数组的$k$那一维还是可以省掉的。

//详见代码吧qwq

 编号    题目    状态    分数    总时间    内存    代码 / 答案文件    提交者    提交时间
 #    #. 「一本通 3.2 例 」Sightseeing Trip Accepted         ms     KiB    C++ / 1.2 K    qwerta    -- ::

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define LL long long
 int g[][];//直接连边的距离
 int dis[][];//有中转点的距离
 int q[];
 int toq=;
 int zz[][];//zz[i][j]表示从i到j的最小路径的中转点
 void getpath(int u,int v)
 {
     if(!zz[u][v])return;
     getpath(u,zz[u][v]);//从u往中转点找
     q[++toq]=zz[u][v];
     getpath(zz[u][v],v);
     return;
 }
 int main()
 {
     //freopen("a.in","r",stdin);
     int n,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     memset(g,,sizeof(g));
     for(int i=;i<=n;++i)
       g[i][i]=;
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         int x,y,l;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
         g[x][y]=min(g[x][y],l);
         g[y][x]=g[x][y];
     }
     memcpy(dis,g,sizeof(g));
     long long ans=1e9+;
     for(int k=;k<=n;++k)
     {
         for(int i=;i<k;++i)
         for(int j=i+;j<k;++j)//因为k为环内最大点，所以只能循环到k-1
         {
             if(1LL*dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]<ans)
             {
                 ans=dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i];
                 toq=;
                 q[++toq]=i;
                 getpath(i,j);
                 q[++toq]=j;
                 q[++toq]=k;
             }
         }
         //然后是正常Floyd
         for(int i=;i<=n;++i)
         for(int j=;j<=n;++j)
         {
             if(1LL*dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
             {
                 dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                 zz[i][j]=k;
             }
         }
     }
     if(!toq){cout<<"No solution.";return ;}
     for(int i=;i<=toq;++i)
       cout<<q[i]<<" ";
     return ;
 }