BZOJ3724PA2014Final Krolestwo——欧拉回路+构造

题目描述

你有一个无向连通图，边的总数为偶数。
设图中有k个奇点（度数为奇数的点），你需要把它们配成k/2个点对（显然k被2整除）。对于每个点对(u,v)，你需要用一条长度为偶数（假设每条边长度为1）的路径将u和v连接。每条路径允许经过重复的点，但不允许经过重复的边。这k/2条路径之间也不能有重复的边。

输入

第一行有两个整数n,m(2<=n,m<=250000)，分别表示点数、边数，m为偶数。
接下来m行，每行两个整数a,b(1<=a,b<=n,a≠b)，表示a,b间连有一条边。不存在重边。保证奇点的数目不为零。

输出

如果你认为无解就输出NIE。
设图中有k个奇点，则输出由k/2部分组成，每个部分包含两行：第一行为u,v,l，表示连接的两个点，及路径长度。第二行为空格隔开的l个整数，表示u到v的路径。边按照输入顺序从1到m编号。
若有多组答案，任意输出其中一个。

样例输入

6 8
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 1
1 4
2 5

样例输出

样例输出：
1 5 2
6 5
2 4 2
8 4
另一种合法输出：
1 5 6
1 2 3 7 6 5
2 4 2
8 4

 

根据题目给出的路径没有重边的要求，我们可以尝试找出原图的一个欧拉回路，这样就能满足路径没有重复边的条件了。要使原图有欧拉回路就要保证没有奇度数点，我们新建一个点$x$，将它连边向所有奇度数点，这样就能保证原图有欧拉回路了。但这样还是不能保证每个路径都有偶数条边，我们将原图拆点建新图将一个点$u$拆成$u_{A},u_{B}$两个点，将原图边$(u,v)$变为$(u_{A},v_{B})$或$(u_{B},v_{A})$(具体如何连下面再说)。将所有原图奇度数点$u$在新图中连边$(u_{A},x)$，这样就保证了新图中一条边的两端点下标不同(即一定有一个$A$一个$B$)，而任意一对$A$点之间的任意路径都有偶数条边。对于原图的边我们找出原图的任意一棵生成树，对于不在生成树上的边随便连上述哪种都行，然后我们规定一个生成树的根，从叶子结点往上倒推出每个点连向父亲的边是$(u_{A},v_{B})$还是$(u_{B},v_{A})$。因为原图边数为偶数，所有这样连完显然是可以保证每个点度数为偶数。因为只需要配对原图奇度数的点，也就是新图中与$x$相连的点，我们从$x$开始$dfs$，并记录沿途边的编号并打上访问标记，到一个点时只要有没标记的出边就可以走下去，当再一次走到$x$时就说明匹配了一对点。这样不断走下去，当$x$的出边都被标记时就说明所有点对都匹配完毕。这也就是说实际上我们并不需要求出新图的一个欧拉回路。有一点需要注意的是因为$dfs$找路径时走过的边就不会再走了，而每个点可能会被遍历许多次，所以，每次走完的边都要在链式前向星上删除掉，否则会被卡。

这里有两个版本供大家选择

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define pr pair<int,int>
using namespace std;
char *p1,*p2,buf[100000];
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int read() {int x=0; char c=nc(); while(c<48) c=nc(); while(c>47) x=(((x<<2)+x)<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
vector<pr>v[250010];
int vis[500010];
int to[1000010];
int head[500010];
int next[1000010];
int q[500010];
int num[10000010];
int cnt;
int S,T;
int n,m;
int x,y;
int d[250010];
int dep[250010];
int r[250010];
int tot=1;
void add(int x,int y,int id)
{
	next[++tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	to[tot]=y;
	num[tot]=id;
}
void dfs(int x,int fa,int num)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;
	int len=v[x].size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int to=v[x][i].first;
		if(!dep[to])
		{
			dfs(to,x,v[x][i].second);
		}
		else if(dep[to]>dep[x])
		{
			r[x]^=1;
			add(x<<1,to<<1|1,v[x][i].second);
			add(to<<1|1,x<<1,v[x][i].second);
		}
	}
	if(r[x])
	{
		r[x]^=1;
		add(x<<1,fa<<1|1,num);
		add(fa<<1|1,x<<1,num);
	}
	else
	{
		r[fa]^=1;
		add(x<<1|1,fa<<1,num);
		add(fa<<1,x<<1|1,num);
	}
}
void dfs2(int x)
{
	if(x==1)
	{
		if(cnt)
		{
			printf("%d %d %d\n",S,T,cnt);
			for(int i=1;i<=cnt;i++)
			{
				printf("%d ",q[i]);
			}
			printf("\n");
		}
		cnt=S=T=0;
	}
	else
	{
		T=x>>1;
		if(!S)
		{
			S=x>>1;
		}
	}
	while(1)
    {
        int i=head[x];
        if(!i)
        {
            break;
        }
        head[x]=next[i];
        if(vis[i>>1])
        {
            continue;
        }
        vis[i>>1]=1;
        if(num[i])
        {
        	q[++cnt]=num[i];
        }
        dfs2(to[i]);
    }
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		v[x].push_back(make_pair(y,i));
		v[y].push_back(make_pair(x,i));
		d[x]++,d[y]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		r[i]=d[i]&1;
		if(d[i]&1)
		{
			add(1,i<<1,0);
			add(i<<1,1,0);
		}
	}
	dfs(1,0,0);
	dfs2(1);
}

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define pr pair<int,int>
using namespace std;
vector<pr>v[500010];
int vis[500010];
int to[1000010];
int head[500010];
int next[1000010];
int q[500010];
int num[10000010];
int cnt;
int S,T;
int n,m;
int x,y;
int d[500010];
int dep[500010];
int r[500010];
int f[500010];
int tot=1;
int find(int x)
{
	if(f[x]==x)
	{
		return x;
	}
	return f[x]=find(f[x]);
}
void add(int x,int y,int id)
{
	next[++tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	to[tot]=y;
	num[tot]=id;
	r[x]++;
}
void dfs(int x,int fa,int num)
{
	int len=v[x].size();
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		if(v[x][i].first!=fa)
		{
			dfs(v[x][i].first,x,v[x][i].second);
		}
	}
	if(fa)
	{
		if(r[x]&1)
		{
			add(x,fa+n,num);
			add(fa+n,x,num);
		}
		else
		{
			add(x+n,fa,num);
			add(fa,x+n,num);
		}
	}
}
void dfs2(int x)
{
	while(1)
	{
		int i=head[x];
		if(i==-1)
		{
			break;
		}
		head[x]=next[i];
		if(vis[i>>1])
		{
			continue;
		}
		vis[i>>1]=1;
		dfs2(to[i]);
		q[++cnt]=num[i];
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		d[x]++,d[y]++;
		int fx=find(x);
		int fy=find(y);
		if(fx!=fy)
		{
			f[fx]=fy;
			v[x].push_back(make_pair(y,i));
			v[y].push_back(make_pair(x,i));
		}
		else
		{
			add(x,y+n,i);
			add(y+n,x,i);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(d[i]&1)
		{
			add(0,i,m+i);
			add(i,0,m+i);
		}
	}
	dfs(1,0,0);
	dfs2(0);
	while(cnt)
	{
		S=q[cnt--]-m;
		int i=cnt;
		while(q[i]<=m&&i>1)i--;
		T=q[i]-m;
		printf("%d %d %d\n",S,T,cnt-i);
		for(int j=cnt;j>i;j--)
		{
			printf("%d ",q[j]);
		}
		printf("\n");
		cnt=i-1;
	}
}