P3747 相逢是问候 欧拉定理+线段树

巨难!!!

去年六省联考唯一的一道黑牌题，我今天一天从早到晚，把它从暴力15分怼到了90分，极端接近正解了。

bzoj上A了，但是洛谷和loj上面就不行。伪正解会T，奇奇怪怪的类正解会WA。。

那么，网上的题解多得很，我就不细说了。

着重说一下我的理解感受和坑点。

1.不愧是黑牌题，显得十分的繁杂(并不)。

首先要用到扩展欧拉定理，φ()，还有线段树辅助，快速幂，大量奇奇怪怪的小细节.....要人命啊。

2.根据之前那题上帝集合，我们可以得知当一个数被操作很多很多很多很多次之后就不变了，成为一个常数。

3.我们首先算出这个次数：phi()到1就是了。特别的，phi(2)=1之后还要再写个phi(1)=1，否则会错。证明网上也很多，我比较推崇这个。(该证明并没有被再次找到......)

4.第一个坑点来了：(c^c^i)%p ≠ (c^((c^i)%p))%p 什么意思呢？意思就是你改一次之后不能接着改第二次，会WA。打暴力时就是这一点卡停了我的思路。如何解决：真·暴力！从初始值a[i]开始重新改起。我：......

5.解决了上面那一件事之后，我们开始着手研究扩展欧拉公式降次的那个式子。把(c^c^i)%p化开之后再一步步推下去，最后我们可以得到这么一个可爱的函数：

 LL cal(int k,int t)
 {
     while(t>)
     {
         if(k>=p[t]) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-]);
         else k=qpow(c,k,p[t-]);
         t--;
     }
     return k;
 }

初等cal函数

看，它是如此的Cuty and goffy(?)，这里有个p[]数组，是之前预处理出来的每一层phi(P)。

6.然后加上一个线段树，它滋磁区间求和，区间修改(每次修改到底)，并记录一个times表示修改的次数。

7.当某次修改时，如果times已经=cnt了，就return。否则修改，update。

8.开开心心的一交，又WA又T......

9.仔细观察发现：那个可爱的cal中的判断条件if(k>=p[t])显然有误。原因是计算卡速米(kasumi)时已经把结果%p[t-1]了，而上一层的p[t-1]就是这一层的p[t]，于是那个if不会触发。

10.翻看胡雨菲的题解，发现他把kasumi改了下，在kasumi里记录flag，保证了正确性。

11.交上去：T了两个点。90分，bzojAC。本着不放弃不抛弃的原则继续调试，发现要优化掉kasumi的时间复杂度，预处理一下。

12.那么怎么确定flag呢？①也预处理好。②每次在cal里记录一个tag，然后用log c p[t]<=tag来判定。

13.首先写①，写炸了。然后写②，解决了T但是又WA了，依旧90分。然后转①，继续炸。但是理论上两种方法都能AC。

14.over。

WA的代码就不放了。放个11.中的代码。

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = ;
 LL a[N],sum[N<<],times[N<<],p[N],c,P,cnt;
 inline LL read()
 {
     LL ans=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') {if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') {ans=ans*;ans+=(ch-'');ch=getchar();}
     return ans*f;
 }
 inline LL qpow(LL a,LL b,LL m,bool &flag)
 {
     LL ans=;
     flag=;
     while(b)
     {
         if(b&)
         {
             ans=ans*a;
             if(ans>=m) flag=,ans%=m;
         }
         b=b>>;
         a=a*a;
         if(a>=m) flag=,a%=m;
     }
     return ans;
 }
 inline LL phi(LL x)
 {
     LL ans=x;
     for(register int i=;i*i<=x;i++)
     {
         if(x%i==)
         {
             while(x%i==) x/=i;
             ans=(ans/i)*(i-);
         }
     }
     if(x>) ans=(ans/x)*(x-);
     return ans;
 }
 inline void pre()
 {
     p[]=P;
     while(P>)
     {
         p[++cnt]=phi(P);
         P=p[cnt];
     }
     p[++cnt]=;
     P=p[];
     return;
 }
 inline void update(LL l,LL r,LL o)
 {
     sum[o]=sum[o<<]+sum[o<<|];
     times[o]=min(times[o<<],times[o<<|]);
     return;
 }
 inline void build(LL l,LL r,LL o)
 {
     if(l==r)
     {
         sum[o]=a[r]%P;
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(l,mid,o<<);
     build(mid+,r,o<<|);
     update(l,r,o);
     return;
 }
 inline LL cal(int k,int t)
 {
     bool flag=(k>=p[t]);
     while(t>)
     {
         if(flag) k=qpow(c,k%p[t]+p[t],p[t-],flag);
         else k=qpow(c,k,p[t-],flag);
         t--;
     }
     return k;
 }
 inline void add(int L,int R,int l,int r,int o)
 {
     if(times[o]>=cnt) return;
     if(l==r)
     {
         times[o]++;
         sum[o]=cal(a[r],times[o]);
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(L<=mid) add(L,R,l,mid,o<<);
     if(mid<R) add(L,R,mid+,r,o<<|);
     update(l,r,o);
     return;
 }
 inline LL ask(int L,int R,int l,int r,int o)
 {
     if(L<=l&&r<=R) return sum[o];
     if(R<l||r<L) return ;
     int mid=(l+r)>>;
     return (ask(L,R,l,mid,o<<)+ask(L,R,mid+,r,o<<|))%P;
 }
 int main()
 {
     LL m,n;
     //scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&P,&c);
     n=read();m=read();P=read();c=read();
     for(register int i=;i<=n;i++) a[i]=read();//scanf("%lld",&a[i]);
     pre();
     build(,n,);
     LL flag,x,y;
     for(register int i=;i<=m;i++)
     {
         //scanf("%d%d%d",&flag,&x,&y);
         flag=read();
         x=read();y=read();
         if(flag) printf("%lld\n",ask(x,y,,n,));
         else add(x,y,,n,);
     }
     return ;
 }

90分代码

题外话：可以看见我加了很多的常数优化，但是洛谷的#9和#11两个点剧毒。关于WA就放个链接吧，可以看出#3和#11比较毒，每次WA都有你们。

15分暴力->90分花了我一个上午。之后下午晚上都在优化那最后10分，还没搞出来。效率堪忧啊。其实可以搞一搞其他几道题的。

明天就是省选了。敬请收看：省选酱油记。