bzoj1010 玩具装箱

玩具装箱

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+1+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小。

　　首先普通dp得方程\(dp[i]=min(dp_j+(i-j-1+a_i-a_j-l)^2)\)，发现有\(a_i*a_j\)的项，于是考虑斜率优化。为了简化方程，用斜率优化的套路，把只与同一下标相关的项统一起来。令\(b_i=a_i+i\)，\(d_i=b_i-l-1\)，那么\(dp[i]=min(dp[j]+(d_i-b_j)^2)\)。若j优于k，说明\(dp[j]-dp[k]+b_j^2-b_k^2<2d_ib_i-2d_ib_k\)，再简化运算，令\(x_i=2b_i\)，\(y_i=dp[i]+b_i^2\)，那么知道若j优于k，\(\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}<d_i\)，也就是可以用斜率优化，单调队列维护下凸包做。

　　注意此题不存在\(c_i\)等于0，所以可以直接算斜率，不用再乘开计算。这个和hdu那道入门题不同。

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

const LL maxn=5e5+5;
LL n, l, h, t, sum[maxn], b[maxn], d[maxn];
LL dp[maxn], x[maxn], y[maxn], q[maxn];
inline LL sqr(LL x){ return x*x; }

int main(){
    scanf("%lld%lld", &n, &l);
    for (LL i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%lld", &sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    h=t=0;
    for (LL i=1; i<=n; ++i){
        b[i]=sum[i]+i, d[i]=b[i]-l-1;
        while (h<t&&y[q[h+1]]-y[q[h]]
               <d[i]*(x[q[h+1]]-x[q[h]])) ++h;
        dp[i]=dp[q[h]]+sqr(d[i]-b[q[h]]);
        x[i]=2*b[i], y[i]=dp[i]+sqr(b[i]);
        while (h<t&&(y[i]-y[q[t]])*(x[q[t]]-x[q[t-1]])
               <(x[i]-x[q[t]])*(y[q[t]]-y[q[t-1]])) --t;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n", dp[n]);
    return 0;
}