[NOIP2015] 子串(dp)
题目描述
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。
输入输出格式
输入格式:
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问
题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。
输出格式:
输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求[b]输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。[/b]
输入输出样例
6 3 1
aabaab
aab
2
6 3 2
aabaab
aab
7
6 3 3
aabaab
aab
7
说明
对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2;
对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m;
对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;
对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m;
对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。
- 比较厉害的dp题,搞了好长时间才搞出来的。
- 而且还有各种坑,卡时间,卡空间。。。。。。
- 不会讲很多,只是简单的说一下思路。
- f[k][i][j]表示分了k段,第一个串取了前i个,第二个串已经构成了前j个的方案数。显然,当s[i]!=ss[j]时f[k][i][j]=0;
- f[k][i][j]=∑f[k-1][L][j-1] 其中s[i]==ss[j] && s[i-1]!=ss[j-1] && 0<L<i
- f[k][i][j]=f[k-1][L][j-1]+f[k][i-1][j-1],其中s[i]==ss[j] && s[i-1]==ss[j-1] && 0<L<i
- 以上是dp的思路,不过这样做只能得到70分,其余三个点会tle。
- 思考一下时间浪费在哪里?
- 通过dp方程可知时间复杂度为O(n2mk),每一次需要通过枚举来找到∑的值。
- 优化一下就是利用前缀和的思想,每次用t数组记录∑的值,这样可以优化到O(nmk),,时间复杂度上比较理想。
- 但是还是无法A掉该题,只能得90分,因为空间炸了。如果开1000*200*200*2的数组,大概需要300MB的空间。。。。
- 不难发现方程里只有i,i-1在被调用,以前的空间都已经失效了,所以就用滚动数组吧。
- 空间和时间都可以符合本题的要求,可以得到100分。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std; int n,m,K;
char s[],ss[];
long long f[][][];
long long t[][][];
long long ans; int main() {
scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
scanf("%s%s",s+,ss+);
f[][][]=t[][][]=;
for (int i=; i<=n; i++) t[][i][]=;
for (int k=; k<=K; k++) {
memset(f[k&],,sizeof f[k&]);
memset(t[k&],,sizeof t[k&]);
for (int i=; i<=n; i++) {
for (int j=; j<=m; j++) {
if (s[i]==ss[j]) {
f[k&][i][j]=(long long)t[(k+)&][i-][j-];
if (s[i-]==ss[j-]) f[k&][i][j]=(long long)(f[k&][i][j]+f[k&][i-][j-]+mod)%mod;
}
t[k&][i][j]=(long long)((t[k&][i][j]+f[k&][i][j]+mod)%mod+t[k&][i-][j]+mod)%mod;
}
}
}
for (int i=; i<=n; i++) ans=(long long)((ans+f[K&][i][m]+mod)%mod);
printf("%lld",ans);
return ;
}
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